Внутри пирамиды $%SABC$% взята произвольная точка $%M$%. Через вершины пирамиды и точку $%M$% последовательно проводятся прямые: $%AA_1, BB_1, CC_1, SS_1$% так, что $%A_1∈BCS, S_1∈BCA, B_1∈SAC, C_1∈BAS$%.

Ограничить снизу сумму отношений: $%AM/MA_1+BM/MB_1+CM/MC_1+SM/S_1M$%

(есть предположение, что это $%4√3$%)

задан 16 Апр '15 23:17

изменен 17 Апр '15 0:32

10|600 символов нужно символов осталось
2

Для удобства переименуем точку $%S$% в $%D$%.

Пусть $%\vec{M}=\alpha\vec{A}+\beta\vec{B}+\gamma\vec{C}+\delta\vec{D}$%, где $%\alpha+\beta+\gamma+\delta=1$% (барицентрические координаты). Тогда $%AM/MA_1=\frac{\beta+\gamma+\delta}{\alpha}$%, и аналогично для остальных случаев.

Сумма отношений равна $%\frac{\beta+\gamma+\delta}{\alpha}+\frac{\gamma+\delta+\alpha}{\beta}+\frac{\delta+\alpha+\beta}{\gamma}+\frac{\alpha+\beta+\gamma}{\delta}=\frac1{\alpha}+\frac1{\beta}+\frac1{\gamma}+\frac1{\delta}-4\ge12$% с учётом неравенства о среднем арифметическом и среднем гармоническом, согласно которому $$\frac4{\frac1{\alpha}+\frac1{\beta}+\frac1{\gamma}+\frac1{\delta}}\le\frac{\alpha+\beta+\gamma+\delta}4.$$

Наименьшее значение, равное $%12$%, достигается при $%\alpha=\beta=\gamma=\delta=\frac14$%, то есть для случая, когда $%M$% есть центр тяжести тетраэдра.

ссылка

отвечен 17 Апр '15 1:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,527
×439
×322

задан
16 Апр '15 23:17

показан
344 раза

обновлен
17 Апр '15 1:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru