Внутри треугольника $%ABC$% взята произвольная точка $%M$%. Через вершины $%ABC$% и точку $%M$% последовательно проводятся прямые: $%AA_1,BB_1,CC_1$%. Доказать:

$%AM/MA_1+BM/MB_1+CM/MC_1≥6$%

задан 16 Апр '15 23:21

Здесь, я так понимаю, подразумевается, что $%A_1\in BC$% и т.п.? Если речь идёт просто о прямых, то ничего не получается.

(17 Апр '15 0:18) falcao

@falcao: да, Вы всё правильно поняли.

(17 Апр '15 0:27) stander
10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть точки $%A_1$%, $%B_1$%, $%C_1$% делят отрезки $%BC$%, $%CA$%, $%AB$% в отношениях $%\alpha$%, $%\beta$%, $%\gamma$% соответственно. По теореме Чевы, $%\alpha\beta\gamma=1$%.

По теореме Ван-Обеля, отношения $%AM/MA_1$%, $%BM/MB_1$%, $%CM/MC_1$% равны $%\gamma+1/\beta$%, $%\alpha+1/\gamma$%, $%\beta+1/\alpha$% соответственно. Их сумма равна $%(\alpha+1/\alpha)+(\beta+1/\beta)+(\gamma+1/\gamma)\ge2+2+2=6$% в силу неравенства о среднем. Можно также заметить, что равенство наблюдается при $%\alpha=\beta=\gamma=1$%, то есть для точки пересечения медиан.

ссылка

отвечен 17 Апр '15 0:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×634
×390
×229
×61

задан
16 Апр '15 23:21

показан
387 раз

обновлен
17 Апр '15 0:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru