Руководитель математического кружка нарисовал на доске таблицу размером $%30\times 30$% и предложил ученикам заполнить ее числами $%1,2,...,900$%, записывая каждую секунду в какую-нибудь пустую клеточку на свое усмотрение одно из тех чисел, не использованных раньше. Смогут ли ученики выполнить задание так, чтобы в любой момент ни в одной строчке, ни в одном столбике сумма всех записанных чисел не давала остаток 1 от деления на 3?

задан 17 Апр '15 18:59

10|600 символов нужно символов осталось
4

Ученики смогут выполнить это задание.

Всего чисел, дающих при делении на 3 остаток 1 - 300, остаток 2 - 300 и остаток 0 (делятся на 3) тоже 300.

Нужно разбить всю таблицу на квадраты $%2\times2$%. Сначала заполним любых 75 квадратов числами, которые делятся на 3. Во всех строках и столбиках суммы чисел делятся на 3.

Осталось заполнить 150 квадратов $%2\times2$%. Для этого берем любой квадрат и заполняем его по диагонали сначала любыми двумя числами, которые при делении на 3 дают остаток 2. В итоге суммы чисел в соответствующих строках и столбцах при делении на 3 дадут остаток 2. А потом в две незаполненные клетки квадрата ставим два любые числа, дающие остаток 1. Теперь опять все суммы делятся на 3. Таким образом можна заполнить все остальные квадраты.

ссылка

отвечен 17 Апр '15 23:13

изменен 18 Апр '15 9:30

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

1

@sliy: я написал своё решение, ещё не видя Вашего. Оно получилось фактически идентичное.

(17 Апр '15 23:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Можно считать, что у нас имеется по 300 нулей, единиц и двоек. Разобьём таблицу на квадратики $%2\times2$%. В каждый квадратик впишем по одной из диагоналей две двойки, а после этого -- две единицы по другой из диагоналей. При этом будет заполнено 600 клеток, и остаток 1 не появится ни по строкам, ни по столбцам. В оставшиеся 300 клеток впишем нули.

ссылка

отвечен 17 Апр '15 23:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×147

задан
17 Апр '15 18:59

показан
447 раз

обновлен
17 Апр '15 23:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru