Доказать, что при $%x\in \left[ 0;\frac { \pi }{ 2 } \right]$% выполняется неравенство $%xcosx<\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 }$%.

задан 5 Июн '12 11:46

перемечен 24 Июн '12 14:50

dmg3's gravatar image


710333

10|600 символов нужно символов осталось
3

Можно рассуждать так: $%x\cos x = x\sin(\pi/2-x) < x(\pi/2-x)\le (\pi/4)^2$%. Последнее значение примерно равно 0,6168, что меньше. чем $%\sqrt 2/2\approx 0,7072$%.

Откуда берется $%\sqrt 2/2$% - не знаю. Покажите!

ссылка

отвечен 5 Июн '12 17:37

У меня есть вариант. Это неравенство не мною придуманное. Если автор хотел реализовать эту идею, то ему следовало бы взять иное неравенство (слишком просто все получается).

(5 Июн '12 19:00) Anatoliy
1

Это короткое и красивое решение.Тем более @DocentI нашла более точную оценку. Придумать новое решение не имеет смысла. @DocentI,по моему в втором неравенстве знак неравенства тоже должен быть нестрогое( в точке 0 равняются).

(5 Июн '12 20:05) ASailyan

@ASailyan, верно, первое неравенство нестрогое, но окончательное неравенство все равно строгое

(5 Июн '12 23:09) DocentI

Это очевидно. Все таки я попробовала найти другое решение.

(5 Июн '12 23:25) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим функцию $% f^'(x)=cosx-xsinx=sinx(ctgx-x),$% где $% x\in(0;\pi/2).$% В этом промежутке $% f^'(x)=0\Leftrightarrow ctgx-x=0\Leftrightarrow ctgx=x$%. Обозначим $%\varphi(x)=ctg(x)-x,$% эта функция тоже непрерывна и $%\varphi^'(x)=-\frac{1}{sin^2x}-1<0, $% при $% x\in(0;\pi/2).$% Значит функция $% \varphi(x),$% убывает и уравнение $% ctgx=x$% в этом промежутке имеет не более одного решения. Обозначим это решение $% x_0 $% $% (ctg x_0=x_0 )$%. Так как $%\varphi(\pi/4)>0,\varphi(\pi/2)<0 $%, то $%x_0\in(\pi/4;\pi/2) $%. Для отрезка $%x\in[0;\pi/2]$%,имеем $% f(0)=f(\pi/2)=0, f(x_0)=x_0cosx_0>0 \Rightarrow maxf(x)=f(x_0)=\frac{cos^2(x_0)}{sinx_0}<\frac{cos^2(\pi/4)}{sin(\pi/4)}=$%

$%=\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow f(x)<\frac{\sqrt2}{2}, $% $%x\in[0;\pi/2].$%

ссылка

отвечен 5 Июн '12 23:16

изменен 5 Июн '12 23:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,606
×331
×133

задан
5 Июн '12 11:46

показан
1388 раз

обновлен
24 Июн '12 14:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru