|
Доказать, что при $%x\in \left[ 0;\frac { \pi }{ 2 } \right]$% выполняется неравенство $%xcosx<\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 }$%. задан 5 Июн '12 11:46 
Anatoliy |
|
Можно рассуждать так: $%x\cos x = x\sin(\pi/2-x) < x(\pi/2-x)\le (\pi/4)^2$%. Последнее значение примерно равно 0,6168, что меньше. чем $%\sqrt 2/2\approx 0,7072$%. Откуда берется $%\sqrt 2/2$% - не знаю. Покажите! отвечен 5 Июн '12 17:37 
DocentI У меня есть вариант. Это неравенство не мною придуманное. Если автор хотел реализовать эту идею, то ему следовало бы взять иное неравенство (слишком просто все получается).
(5 Июн '12 19:00)
Anatoliy
1
Это короткое и красивое решение.Тем более @DocentI нашла более точную оценку. Придумать новое решение не имеет смысла. @DocentI,по моему в втором неравенстве знак неравенства тоже должен быть нестрогое( в точке 0 равняются).
(5 Июн '12 20:05)
ASailyan
@ASailyan, верно, первое неравенство нестрогое, но окончательное неравенство все равно строгое
(5 Июн '12 23:09)
DocentI
Это очевидно. Все таки я попробовала найти другое решение.
(5 Июн '12 23:25)
ASailyan
|
|
Рассмотрим функцию $% f^'(x)=cosx-xsinx=sinx(ctgx-x),$% где $% x\in(0;\pi/2).$% В этом промежутке $% f^'(x)=0\Leftrightarrow ctgx-x=0\Leftrightarrow ctgx=x$%. Обозначим $%\varphi(x)=ctg(x)-x,$% эта функция тоже непрерывна и $%\varphi^'(x)=-\frac{1}{sin^2x}-1<0, $% при $% x\in(0;\pi/2).$% Значит функция $% \varphi(x),$% убывает и уравнение $% ctgx=x$% в этом промежутке имеет не более одного решения. Обозначим это решение $% x_0 $% $% (ctg x_0=x_0 )$%. Так как $%\varphi(\pi/4)>0,\varphi(\pi/2)<0 $%, то $%x_0\in(\pi/4;\pi/2) $%. Для отрезка $%x\in[0;\pi/2]$%,имеем $% f(0)=f(\pi/2)=0, f(x_0)=x_0cosx_0>0 \Rightarrow maxf(x)=f(x_0)=\frac{cos^2(x_0)}{sinx_0}<\frac{cos^2(\pi/4)}{sin(\pi/4)}=$% $%=\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow f(x)<\frac{\sqrt2}{2}, $% $%x\in[0;\pi/2].$% отвечен 5 Июн '12 23:16 
ASailyan |