линейная-алгебра - Доказать, что функция является квадратичной формой

По определению, $%k(X)=\sum\limits_{i=1}^nx_{ii}^2+2\sum\limits_{i < j}x_{ij}x_{ji}$%. Ясно, что это квадратичная форма от $%n^2$% переменных.

Переменные вида $%x_{ii}$% уже присутствуют в квадрате, а для остальных переменных, применяя метод Лагранжа, рассмотрим замены вида $%x_{ij}=u_{ij}+u_{ji}$% и $%x_{ji}=u_{ij}-u_{ji}$%. Произведения вида $%x_{ij}x_{ji}$% дадут при этом разности квадратов $%u_{ij}^2-u_{ji}^2$%.

Таким образом, получится $%\frac{n(n+1)}2$% квадратов со знаком "плюс" и $%\frac{n(n-1)}2$% квадратов со знаком "минус". Разность этих величин равна $%n$%, и её можно считать сигнатурой (иногда под этим понимают также пару указанных выше чисел). Ранг формы равен сумме этих чисел, что есть $%n^2$%.