Пусть $%\langle a \rangle= C_n$%, и $%b = a^k$%. Доказать, что
а) порядок элемента $%b$% равен $%\frac{n}{НОД(n,k)}$%;
б) $%НОД(n, k) = 1$% тогда и только тогда, когда $%a$% является $%k$%-й степенью некоторого элемента из $%\langle a \rangle$%.

задан 18 Апр '15 23:50

10|600 символов нужно символов осталось
1

Используем тот факт, что элемент $%a$% порядка $%n$% равен единице в степенях с показателями, кратными $%n$%, и только с такими показателями, что следует из теоремы о делении с остатком.

а) Пусть $%m$% -- порядок $%a^k$%. Тогда $%a^{mk}=e$%, откуда $%mk$% кратно $%n$%. Положим $%d=$%НОД$%(n,k)$%. Тогда $%n=dn_1$%, $%k=dk_1$%, где $%n_1$% и $%k_1$% взаимно просты. Получается, что $%mk_1$% делится на $%n_1$%, а потому и $%m$% делится на $%n_1$% ввиду условия взаимной простоты. Наименьшим натуральным числом с таким свойством является $%n_1=\frac{n}d$%, то есть это и есть порядок элемента.

б) Если числа $%n$% и $%k$% взаимно просты, то $%1=nu+kv$% для некоторых целых $%u,v$%. Тогда $%a=(a^{n})^u(a^v)^k=(a^v)^k$% является $%k$%-й степенью.

Обратно, если $%a=(a^k)^v$% для некоторого целого $%v$%, то $%a^{1-kv}=e$%, и $%1-kv$% кратно $%n$%, что позволяет записать $%1=kv+nu$% для некоторого целого $%u$%. Ясно, что $%1$% делится при этом на любой общий делитель чисел $%n$% и $%k$%, откуда следует взаимная простота этих чисел.

ссылка

отвечен 19 Апр '15 0:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×755
×48

задан
18 Апр '15 23:50

показан
437 раз

обновлен
19 Апр '15 0:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru