теория-групп - Порядок элемента циклической группы

Используем тот факт, что элемент $%a$% порядка $%n$% равен единице в степенях с показателями, кратными $%n$%, и только с такими показателями, что следует из теоремы о делении с остатком.

а) Пусть $%m$% -- порядок $%a^k$%. Тогда $%a^{mk}=e$%, откуда $%mk$% кратно $%n$%. Положим $%d=$%НОД$%(n,k)$%. Тогда $%n=dn_1$%, $%k=dk_1$%, где $%n_1$% и $%k_1$% взаимно просты. Получается, что $%mk_1$% делится на $%n_1$%, а потому и $%m$% делится на $%n_1$% ввиду условия взаимной простоты. Наименьшим натуральным числом с таким свойством является $%n_1=\frac{n}d$%, то есть это и есть порядок элемента.

б) Если числа $%n$% и $%k$% взаимно просты, то $%1=nu+kv$% для некоторых целых $%u,v$%. Тогда $%a=(a^{n})^u(a^v)^k=(a^v)^k$% является $%k$%-й степенью.

Обратно, если $%a=(a^k)^v$% для некоторого целого $%v$%, то $%a^{1-kv}=e$%, и $%1-kv$% кратно $%n$%, что позволяет записать $%1=kv+nu$% для некоторого целого $%u$%. Ясно, что $%1$% делится при этом на любой общий делитель чисел $%n$% и $%k$%, откуда следует взаимная простота этих чисел.