теория-вероятности - Вероятность того, что шар белый

Если бы:

1) сначала в первой урне находились 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне находились 7 белых и 3 черных шара,

2) затем три шара (не глядя) переложили из первой урны во вторую урну,

тогда бы вероятность вынуть один белый шар из второй урны $%P(take \ \{1_w\} \ out \ of \ the \ 2^{nd} \ at \ t_3)$% можно было вычислить по формуле:

$%P(take \ \{1_w\} \ out \ of \ the \ 2^{nd} \ at \ t_3 )= $%

$% = P(take \ \{3_w, 0_b\} \ out \ of \ \{6_w, 4_b\} \ at \ t_1) \cdot P(take \ \{1_w\} \ out \ of \ the \ 2^{nd} \ at \ t_3|add \ \{3_w, 0_b\} \ in \ \{7_w, 3_b\} \ at \ t_2) + $%

$% + P(take \ \{2_w, 1_b\} \ out \ of \ \{6_w, 4_b\} \ at \ t_1) \cdot P(take \ \{1_w\} \ out \ of \ the \ 2^{nd} \ at \ t_3 |add \ \{2_w, 1_b\} \ in \ \{7_w, 3_b\} \ at \ t_2) + $%

$% + P(take \ \{1_w, 2_b\} \ out \ of \ \{6_w, 4_b\} \ at \ t_1 ) \cdot P(take \ \{1_w\} \ out \ of \ the \ 2^{nd} \ at \ t_3|add \ \{1_w, 2_b\} \ in \ \{7_w, 3_b\} \ at \ t_2) + $%

$% + P(take \ \{0_w, 3_b\} \ out \ of \ \{6_w, 4_b\} \ at \ t_1) \cdot P(take \ \{1_w\} \ out \ of \ the \ 2^{nd} \ at \ t_3|add \ \{0_w, 3_b\} \ in \ \{7_w, 3_b\} \ at \ t_2) = $%

$%= \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{10 \cdot 9 \cdot 8} \cdot \frac{7 + 3}{(7 + 3)+ (3 + 0)} + \frac{3!}{2!} \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{10 \cdot 9 \cdot 8} \cdot \frac{7 + 2}{(7 + 2)+ (3 + 1)} + \frac{3!}{2!} \cdot \frac{6 \cdot 4 \cdot 3}{10 \cdot 9 \cdot 8} \cdot \frac{7 + 1}{(7 + 1)+ (3 + 2)} + \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{10 \cdot 9 \cdot 8} \cdot \frac{7 + 0}{(7 + 0)+ (3 + 3)}$%,

где:

$%P (take \ \{3_w, 0_b\} \ out \ of \ \{6_w, 4_b\} \ at \ t_1 ) = \frac{(3 + 0)!}{3! \cdot 0!} \cdot A_6^3 \cdot A_4^0 \cdot (A_{6 + 4}^{3 + 0})^{-1} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{10 \cdot 9 \cdot 8}$% - вероятность вынуть три белых шара [и ноль чёрных шаров] из первой урны, а $%P(take \ \{1_w\} \ out \ of \ the \ 2^{nd} \ at \ t_3 |add \ \{3_w, 0_b \} \ in \ \{7_w, 3_b\} \ at \ t_2 ) = A_{7 + 3}^1 \cdot (A_{(7 + 3) + (3 + 0)}^1)^{-1} = \frac{7 + 3}{(7 + 3)+ (3 + 0)}$% - вероятность вынуть один белый шар из второй урны, после того как в неё добавили три белых шара [и ноль чёрных шаров] из первой урны,

$%P (take \ \{2_w, 1_b\} \ out \ of \ \{6_w, 4_b\} \ at \ t_1 ) = \frac{(2 + 1)!}{2! \cdot 1!}A_6^2 \cdot A_4^1 \cdot (A_{6 + 4}^{2 + 1})^{-1} = \frac{3!}{2!} \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{10 \cdot 9 \cdot 8}$% - вероятность вынуть два белых и один чёрный шар из первой урны, а $%P(take \ \{1_w\} \ out \ of \ the \ 2^{nd} \ at \ t_3 |add \ \{ 2_w,1_b \} \ in \ \{7_w, 3_b\} \ at \ t_2) = A_{7 + 2}^1 \cdot (A_{(7 + 2) + (3 + 1)}^1)^{-1} = \frac{7 + 2}{(7 + 2)+ (3 + 1)}$% - вероятность вынуть один белый шар из второй урны, после того как в неё добавили два белых и один чёрный шар из первой урны,

$%P (take \ \{ 1_w, 2_b \} \ out \ of \ \{6_w, 4_b\} \ at \ t_1 ) = \frac{(1 + 2)!}{1! \cdot 2!} \cdot A_6^1 \cdot A_4^2 \cdot (A_{6 + 4}^{1 + 2})^{-1} = \frac{3!}{2!} \cdot \frac{6 \cdot 4 \cdot 3}{10 \cdot 9 \cdot 8}$% - вероятность вынуть один белый и два чёрных шара из первой урны, а $%P(take \ \{1_w\} \ out \ of \ the \ 2^{nd} \ at \ t_3 |add \ \{1_w, 2_b\} \ in \ \{7_w, 3_b\} \ at \ t_2) = A_{7 + 1}^1 \cdot (A_{(7 + 1) + (3 + 2)}^1)^{-1} = \frac{7 + 1}{(7 + 1)+ (3 + 2)}$% - вероятность вынуть один белый шар из второй урны, после того как в неё добавили один белый и два чёрных шара из первой урны,

$%P (take \ \{0_w, 3_b \} \ out \ of \ \{6_w, 4_b\} \ at \ t_1 ) = \frac{(0 + 3)!}{0! \cdot 3!} \cdot A_6^0 \cdot A_4^3 \cdot (A_{6 + 4}^{0 + 3})^{-1} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{10 \cdot 9 \cdot 8}$% - вероятность вынуть [ноль белых шаров и] три чёрных шара из первой урны, а $%P(take \ \{1_w\} \ out \ of \ the \ 2^{nd} \ at \ t_3 |add \ \{0_w, 3_b \} \ in \ \{7_w, 3_b\} \ at \ t_2) = A_{7 + 0}^1 \cdot (A_{(7 + 0) + (3 + 3)}^1)^{-1} = \frac{7 + 0}{(7 + 0)+ (3 + 3)}$% - вероятность вынуть один белый шар из второй урны, после того как в неё добавили [ноль белых шаров и] три чёрных шара из первой урны.

Если бы:

1) сначала в первой урне находились 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне находились 7 белых и 3 черных шара,

2) затем один шар (не глядя) переложили из первой урны во вторую урну,

тогда бы вероятность вынуть три белых и два чёрных шара из второй урны $%P(take \ \{3_w, 2_b\} \ out \ of \ the \ 2^{nd} \ at \ t_3)$% можно было вычислить по формуле:

$%P(take \ \{3_w, 2_b\} \ out \ of \ the \ 2^{nd} \ at \ t_3 )= $%

$% = P(take \ \{1_w, 0_b\} \ out \ of \ \{6_w, 4_b\} \ at \ t_1) \cdot P(take \ \{3_w, 2_b\} \ out \ of \ the \ 2^{nd} \ at \ t_3|put \ \{1_w, 0_b\} \ in \ the \ 2^{nd} \ at \ t_2) + $%

$% + P(take \ \{0_w, 1_b\} \ out \ of \ \{6_w, 4_b\} \ at \ t_1) \cdot P(take \ \{3_w, 2_b\} \ out \ of \ the \ 2^{nd} \ at \ t_3 |put \ \{0_w, 1_b\} \ in \ the \ 2^{nd} \ at \ t_2)$%

где:

$%P (take \ \{1_w, 0_b\} \ out \ of \ \{6_w, 4_b\} \ at \ t_1 ) = \frac{(1 + 0)!}{1! \cdot 0!} \cdot A_6^1 \cdot A_4^0 \cdot (A_{6 + 4}^1)^{-1} = \frac{6 }{10}$% - вероятность вынуть один белый шар [и ноль чёрных шаров] из первой урны, а $%P(take \ \{3_w, 2_b\} \ out \ of \ the \ 2^{nd} \ at \ t_3 |put \ \{1_w, 0_b \} \ in \ the \ 2^{nd} \ at \ t_2 ) = \frac{(3 + 2)!}{3! \cdot 2!} \cdot A_{7 + 1}^3 \cdot A_{3 + 0}^2 \cdot (A_{(7 + 1) + (3 + 0)}^{3 + 2})^{-1}$% - вероятность вынуть три белых и два чёрных шара из второй урны, после того как в неё добавили один белый шар [и ноль чёрных шаров] из первой урны,

$%P (take \ \{0_w, 1_b\} \ out \ of \ \{6_w, 4_b\} \ at \ t_1 ) = \frac{(0 + 1)!}{0! \cdot 1!} \cdot A_6^0 \cdot A_4^1 \cdot (A_{6 + 4}^1)^{-1} = \frac{4}{10}$% - вероятность вынуть [ноль белых шаров и] один чёрный шар из первой урны, а $%P(take \ \{3_w, 2_b\} \ out \ of \ the \ 2^{nd} \ at \ t_3 |put \ \{0_w, 1_b \} \ in \ the \ 2^{nd} \ at \ t_2 ) = \frac{(3 + 2)!}{3! \cdot 2!} \cdot A_{7 + 0}^3 \cdot A_{3 + 1}^2 \cdot (A_{(7 + 0) + (3 + 1)}^{3 + 2})^{-1}$% - вероятность вынуть три белых и два чёрных шара из второй урны, после того как в неё добавили [ноль белых шаров и] один чёрный шар из первой урны.

Надеюсь, я не ошибся.