Ребро  куба $%ABCDA_1B_1C_1D_1$%  равно  $%4$%.  На  стороне  $%BB_1$%  отмечена  точка  $%K$%  так,  что $%BK=3$%. Плоскость $%\alpha$% проходит через точки $%C_1$% и $%K$% и параллельна прямой $%BD_1$%. Плоскость  $%\alpha$% пересекает ребро $%A_1B_1$% в точке $%P$%.
а) докажите, что $%A_1P:PB_1=2:1$%;
б) найдите угол наклона плоскости $%\alpha$% к грани $%BB_1C_1C$%. 

задан 20 Апр '15 0:25

изменен 20 Апр '15 21:27

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@Karolina595, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(20 Апр '15 21:27) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
2

Это что-то из ЕГЭ-2015 ( из "подготовок" к ЕГЭ ), в этом году подобные С2 ( то есть теперь это №16 вроде бы.. )
@Karolina595, 1-ое делается просто: в плоскости диагонального сечения куба $%BDD_1B_1$% через точку $%K$% проводим $%KM || BD_1$% ( т. $%M$% - пересечение $%KM$% и $%B_1D_1$% ), потом через точки $%C_1$% и $%M$% проводим прямую - получаем линию пересечения грани $%A_1B_1C_1D_1$% и секущей плоскости $%\alpha$%; т. $%P$% - пересечение $%A_1B_1$% и $%C_1M$%, и треугольник $%C_1KP$% - это сечение куба данной плоскостью $%\alpha$%.
Так как $%KM || BD_1$%, то $%B_1M/MD_1 = B_1K/KB$%, то есть $%B_1M/MD_1 = 1/3$%, т.е. если $%B_1M = x$%, то $%MD_1 = 3x$% ( вообще, эти отрезки легко посчитать: если ребро куба $%a = 4$%, то диагональ грани $%d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$%, и тогда $%B_1M = \sqrt{2}$% и $%MD_1 = 3\sqrt{2}$% - только эти цифры "никто не спрашивал".. ). А потом "смотрим" на грань $%A_1B_1C_1D_1$%: треугольник $%B_1MP$% подобен треугольнику $%D_1MC_1$%, и $%B_1P/C_1D_1 = B_1M/MD_1 $%, то есть $%B_1P/C_1D_1 = 1/3$%, то есть если $%B_1P = t$%, то $%C_1D_1 = 3t$% - это ребро куба, и тогда $%A_1P = 3t - t = 2t$%, отношение $%A_1P/PB_1 = 2/1$% ( и здесь тоже можно посчитать: ребро куба $%=4$%, т.е. $%3t = 4$%, т.е. $%B_1P = t = 4/3$%, и $%A_1P = 4 - 4/3 = 8/3$% )
alt text
И 2-ое. Проводим в треуг-ке $%KB_1C_1$% высоту $%B_1E$% ( т.е. $%B_1E\perp KC_1$% ). Имеем: $%B_1E$% является ПРОЕКЦИЕЙ наклонной $%PE$% на плоскость $%BB_1C_1$%, и если проекция $%B_1E\perp KC_1$%, то и наклонная $%PE \perp KC_1$%, то есть угол $%\phi = \angle B_1EP$% - это "угол, который нам нужен" ( угол между плоскостями $%BB_1C_1$% и $%KC_1P$% ). Получаем: $%tg(\phi) = B_1P/B_1E$% ( и $%B_1P = 4/3$%, а $%B_1E$% еще надо посчитать - как высоту к гипотенузе в прямоугольном треугольнике $%KB_1C_1$% )
alt text

ссылка

отвечен 20 Апр '15 14:21

изменен 21 Апр '15 0:28

Какая "масштабная" работа -- и в прямом смысле, и в переносном! :)

Дело в том, что для меня даже самую простую картинку нарисовать -- это как пуд соли съесть :)

(21 Апр '15 1:32) falcao

=)) @falcao, сама задача - вообще никак не "масштабная" ( и если я правильно догадываюсь, что это из "диагностических работ", которые проводят перед ЕГЭ, - то где-то есть ( должно быть ) уже и готовое РЕШЕНИЕ.. просто автор вопроса решение, наверное, не нашла.. поэтому я решила, пусть решение будет еще здесь ). А рисунок - да, это занимает время.. поэтому днем и не хотела с рисунком возиться..
Вообще рисовать вроде и несложно ( я рисую в Геогебре ( GeoGebra ), но есть и другие разные программки ), только рисунок все равно "время тянет".. =)

(21 Апр '15 1:45) ЛисаА

@ЛисаА: задача-то понятно, что "типовая", но я имел в виду оформление. Сделано как бы "капитально" -- такое нельзя не оценить!

(21 Апр '15 1:48) falcao

@falcao, так ЕГЭ ведь .. =) пусть будет - может, это поможет кому-нибудь ( надеюсь, я там хоть нигде не наврала.. но вроде решала "осознанно" =) и наврать там вроде было негде.. =))

(21 Апр '15 1:54) ЛисаА

Да, круто оформлено. Тоже "класс" поставлю. Потихоньку начал и я осваивать GeoGebra.

(21 Апр '15 19:50) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,575

задан
20 Апр '15 0:25

показан
2464 раза

обновлен
21 Апр '15 19:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru