Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах. Параметр а положителен. $$(x^2+y^2)^2 = a^2(x^2-y^2)$$

Решал так: Перейдем к полярным координатам: $$x = r \cos \phi,\ y = r \sin \phi$$ $$(r^2\cos^2\phi + r^2\sin^2\phi)^2 = a^2(r^2\cos^2\phi - r^2\sin^2\phi)$$ $$r^4(\cos^2\phi + \sin^2\phi)^2 = a^2r^2(\cos^2\phi - \sin^2\phi)$$ $$r^2 = a^2(\cos^2\phi - \sin^2\phi)$$ $$r = a\sqrt{\cos^2\phi - \sin^2\phi}$$ При этом получаем, что кривая имеет значения $$\phi \in [{-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}}]\cup[{\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4}}] $$ Подскажите что делать дальше или достаточно указать, что кривая с разрывами, найти площадь нельзя?

задан 4 Янв '12 21:44

изменен 5 Янв '12 12:35

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

$$\phi \in [\pi k \pm \frac{\pi}{4}]$$ $$S=\int_{D}\int dx dy = \int_{D}\int r dr d\phi = 4\int_0^{\frac{\pi}{4}} d\phi \int_0^{a\sqrt{cos^2\phi - sin^2\phi}}rdr=$$ $$=4\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{r^2}{2} |_0^{a\sqrt{cos^2\phi - sin^2\phi}} d\phi =2a^2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} (cos^2\phi - sin^2\phi) d\phi=$$

(5 Янв '12 14:42) dark123us

$$=2a^2 (\frac{\phi}{2}+\frac{1}{4} sin2\phi - \frac{\phi}{2}+\frac{1}{4} sin2\phi ) |_0^{\frac{\pi}{4}}=a^2(sin2\phi|_0^{\frac{\pi}{4}}) = a^2$$

Верно ли получилось?

(5 Янв '12 15:04) dark123us

Нашел ответ http://abc.vvsu.ru/Books/u_vmspecraz/page0011.asp (пример 2), все-таки верно получилось.

(5 Янв '12 15:52) dark123us
10|600 символов нужно символов осталось
2

Если построить ваш график, получится что-то вроде такого: alt text

Как мы видим, у нас есть две области, с одной стороны от точек разрыва и с другой. Наверное, имеется в виду сумма этих областей.

ссылка

отвечен 5 Янв '12 4:06

10|600 символов нужно символов осталось
1
ссылка

отвечен 6 Янв '12 9:20

изменен 6 Янв '12 12:09

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×961

задан
4 Янв '12 21:44

показан
7226 раз

обновлен
6 Янв '12 12:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru