$$3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{49-18a+9a^2}$$ Как найти минимальное значение. Пытался сделать способом, которому меня научил EdwardTurJ, но получилось, как в кино "Не может быть" (Я могу узнать свою невесту, но когда она в пальто). Мне здесь мешаются коэффициенты перед $%a$% (разные). Может быть этот метод и не подходит. В оригинальном задании нужно доказать, что это выражение больше или равно $%5\sqrt{11}$%. Может еще какому-нибудь методу научусь. Подскажите.

задан 20 Апр '15 13:56

изменен 20 Апр '15 21:31

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
3

Воспользуемся неравенством $$\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}+\sqrt{y_1^2+y_2^2+y_3^2}\ge\sqrt{(x_1+y_1)^2+(x_2+y_2)^2+(x_3+y_3)^2},$$ которое легко доказывается: после возведения в квадрат получаем неравенство Коши-Шварца-Буняковского. $$3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{49-18a+9a^2}=\sqrt{9a^2+9a^2+9}+\sqrt{36(a-1)^2+16+144}\ge$$ $$\ge\sqrt{(3a+6-6a)^2+(3a+4)^2+(3+12)^2}=\sqrt{2(3a-1)^2+275}\ge\sqrt{275}=5\sqrt{11}.$$

ссылка

отвечен 20 Апр '15 15:13

Да, это более олимпиадно, но я бы до такой группировки вряд ли додумался.

(20 Апр '15 15:19) falcao

@falcao: Группировка простая: $%\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}$%, если заранее знать экстремальную точку.

(20 Апр '15 15:22) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ: теперь хотя бы понятно, какой принцип лежал в основе группировки. Изначально это не было ясно.

(20 Апр '15 15:25) falcao

Спасибо, все понятно, кроме одного (видно, самого главного): я всё же не понял, как разбить подкоренные выражения на именно эти слагаемые. Если можно, поподробнее.

(20 Апр '15 15:38) epimkin

$$\sqrt{18a^2+9}+\sqrt{36(1-a)^2+160}$$ Заранее мне известно, что минимум достается в точке $%a=\frac13$% и значение в этой точке первого корня в $%4$% раза меньше значения первого корня.

Слагаемые должны быть пропорциональными.

Поэтому (слева-направо) первая пара: $%9$% и $%144$%, вторая пара: $%9a^2$% и $%16$%, третья пара: $%9a^2$% и $%36(1-a)^2$%.

(20 Апр '15 16:29) EdwardTurJ

@EdwardTurJ, более-менее понятно. Еще один вопрос, а нет ли где-нибудь домика, где живут неравенства, одно из которых у Вас в самом начале ответа?

(20 Апр '15 16:59) epimkin
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
2

Я проверил указанный факт "лобовым" способом, то есть при помощи производной.

Пусть $%f(a)=3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{49-18a+9a^2}$%. Функция всюду определена, и она стремится к бесконечности при "больших" $%a$%. Будучи всюду неотрицательной, она принимает в какой-то из точек наименьшее значение. Производная в ней равна нулю. Если окажется, что точка с таким свойством всего одна, то она и будет искомой.

Находим производную, для удобства поделив её на шесть: $%\frac16f'(a)=\frac{a}{\sqrt{1+2a^2}}+\frac{3(a-1)}{\sqrt{9a^2-18a+49}}$%. После возведения в квадрат как следствие получаем уравнение $%a^2(9a^2-18a+49)-9(a-1)^2(2a^2+1)=0$%, что после раскрытия скобок даёт $%9a^4-18a^3-22a^2-18a+9=0$%. Находим стандартным способом рациональные корни. Подходят $%a=3$% и $%a=\frac13$%, то есть получается разложение на множители $%(a-3)(3a-1)(3a^2+4a+3)=0$%. Квадратный трёхчлен не имеет действительных корней. Значение $%a=3$% не является корнем уравнения, которое было до возведения в квадрат. Остаётся $%a=\frac13$%, для которого и получается наименьшее значение $%f(\frac13)=5\sqrt{11}$%.

Возможно, тут есть и какой-то "олимпиадный" способ решения -- скажем, с использованием геометрической интерпретации.

ссылка

отвечен 20 Апр '15 15:10

@falcao, этим способом я тоже решил. Хотелось большего, но не получилось. Теперь вот вижу, буду разбираться. Спасибо

(20 Апр '15 15:21) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,148

задан
20 Апр '15 13:56

показан
654 раза

обновлен
20 Апр '15 17:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru