Найти все пары действительных чисел $%(x;y)$%, которые удовлетворяют систему:

$$ \begin{equation} \begin{cases} \sqrt{(x-1)^2+(y-5)^2}+\frac{|x+y|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2} \\ \sqrt{|x+2|}=2-y \end{cases} \end{equation} $$

задан 20 Апр '15 18:27

изменен 20 Апр '15 18:33

10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим подкоренное выражение первого радикала: $$(x-1)^2+(y-5)^2=(x-1)^2+(3+\sqrt{|x+2|})^2=$$ $$=(x+2)^2+6\sqrt{|x+2|}-6(x+2)+|x+2|+18.$$ Если $%x+2<0$% то значение выражения больше $%18$%. Если $%x+2\ge0$% то положим $%x+2=t^2$%. Имеем $$t^4+6t-6t^2+t+18=t(t^3-5t+6)+18\ge18,$$ поскольку $%t^3-5t+6>0$% при $%t\ge0$%, что легко проверить с помощью производной.

Ответ: $%(-2,2).$%

ссылка

отвечен 20 Апр '15 19:57

изменен 20 Апр '15 19:57

10|600 символов нужно символов осталось
2

Можно еще и таким способом:

Пусть $%(x;y) - $% координаты точки $%P$% на плоскости. Первое уравнение системы означает, что сумма расстояний от этой точки к точке $%Q(1;5)$% и к прямой $%l$%, заданной уравнением $%x+y=0$%, равняется расстоянию от точки $%Q$% к прямой $%l$%.

Множеством точек координатной плоскости, которые удовлетворяют это условие, есть отрезок $%QR$%, где $%R(-2;2) -$% основание перпендикуляра, проведенного из точки $%Q$% к прямой $%l$% (действительно, очевидно, что для любой точки $%P$%, которая не принадлежит отрезку $%QR$%, сумма расстояний от нее к точке $%Q$% и к прямой $%l$% будет большей за $%QR$%). Но со второго уравнения системы $%y \le 2$%. Поэтому систему может удовлетворять только точка $%R(-2;2)$% и остается сделать проверку.

Ответ: $%(-2;2)$%.

alt text

ссылка

отвечен 21 Апр '15 11:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×278

задан
20 Апр '15 18:27

показан
312 раз

обновлен
21 Апр '15 11:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru