Добрый день!

Помогите, пожалуйста, с задачей на теорию групп...

Необходимо найти все идеалы кольца верхних треугольных матриц размера 2 с целыми элементами.

Искала подобные задачки в интернете. Нашла ответ такого вида:

Каждый идеал образуют все матрицы вида

$$\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ 0 & a_3 \end{bmatrix}$$

где элементы $%a_k$% образуют в $%Z$% идеал $%I_k$% $%(k = 1, 2, 3)$%, причем $%I_1 ⊆ I_2$% и $%I_3 ⊆ I_2$%.

Но я не понимаю, откуда идеалы $%I_k$% и что они значат...

задан 20 Апр '15 19:15

изменен 20 Апр '15 21:35

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Тут надо прежде всего иметь в виду, что строение идеалов в кольце $%\mathbb Z$% имеет простое явное описание. Все они являются главными, то есть имеют вид $%n\mathbb Z$%, где $%n$% -- целое неотрицательное число. В частности, $%I_k=n_k\mathbb Z$%. Включение $%I_1\subseteq I_2$% означает, что $%n_1$% кратно $%n_2$%. Второе включение означает, что $%n_3$% также кратно $%n_2$%.

Достаточно легко проверяется, что матрицы указанного в описании вида образуют идеал. Для этого, как известно, достаточно убедиться в том, что множество матриц из описания замкнуто относительно вычитания (что очевидно), а также то, что при умножении с любой из сторон на произвольную верхнетреугольную матрицу получается снова матрица из исходного множества.

Например, если матрица из условия обладала тем свойством, что $%a_k$% кратно $%n_k$% для всех $%k=1,2,3$%, то в произведении $$\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ 0 & a_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ 0 & b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1b_1 & a_1b_2+a_2b_3 \\ 0 & a_3b_3 \end{pmatrix}$$ элементы на диагонали кратны $%n_1$% и $%n_3$% соответственно, а правый верхний элемент кратен $%n_2$%, поскольку $%a_1$% кратен $%n_1$%, а потому кратен $%n_2$%. Аналогично, для умножения слева будет $$\begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ 0 & b_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ 0 & a_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1a_1 & b_1a_2+b_2a_3 \\ 0 & b_3a_3 \end{pmatrix}$$ с тем же эффектом.

Теперь надо доказать, что все идеалы данного кольца имеют вид, указанный в описании. Рассмотрим произвольный идеал $%I$%, замечая, что множество целых чисел, стоящих на заданном месте у матриц, принадлежащих идеалу, образует подгруппу в $%\mathbb Z$%, а потому является идеалом кольца целых чисел. Исходя из этого, мы получаем три числа $%n_1$%, $%n_2$%, $%n_3$%, как и выше. Из этого пока прямо ничего не следует. Мы можем лишь сказать, что у всякой матрицы вида $$\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ 0 & a_3 \end{pmatrix}\in I$$ элемент $%a_k$% кратен $%n_k$% для всех $%k=1,2,3$%.

Домножим теперь нашу матрицу справа на $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Получится снова матрица из $%I$%. Элемент $%a_1$% при этом займёт место, на котором был элемент $%a_2$%. При $%a_1=n_1$% получится, что $%n_1$% кратно $%n_2$%. Аналогично, при домножении слева на ту же матрицу элемент $%a_3$% займёт правое верхнее место, откуда будет следовать, что $%n_3$% кратно $%n_2$%.

Это пока что также ещё не всё, потому что надо доказать, что идеал $%I$% в точности состоит из тех матриц, про которые говорилось в описании. Для этого достаточно заметить, что при домножении слева и справа на так называемые "матричные единицы", то есть матрицы, у которых ровно один элемент равен единице, а остальные -- нули, можно "вычленять" отдельные элементы матриц, обнуляя всё остальное. В частности, таким способом из исходной матрицы можно получить каждую из следующих трёх матриц: $$\begin{pmatrix} a_1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} 0 & a_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & a_3 \end{pmatrix}.$$ Из этого следует, что любую матрицу, в которой $%a_k$% кратно $%n_k$% можно "сконструировать" из имеющихся в $%I$% матриц при помощи разрешённых операций (домножение и суммирование). Значит, все такие матрицы будут принадлежать $%I$%, то есть исследуемый идеал совпадает с требуемым описанием.

ссылка

отвечен 21 Апр '15 0:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×755
×669
×328

задан
20 Апр '15 19:15

показан
1111 раз

обновлен
21 Апр '15 0:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru