Подскажите, пожалуйста, как получить сумму для ряда квадратов от 1 до n. Как-то получают следующую сумму n(n+1)(2n+1)/6?

задан 5 Июн '12 14:07

изменен 5 Июн '12 17:19

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим более общую задачу - как получить сумму $%p$%-x степеней $%n$% первых натуральных чисел.

Обозначим $%S_p(n,m)=\sum_{k=m}^n k^p$% и заметим, что $%S_p(n,m)=S_p(n,1)-S_p(m-1,1)$%.

Докажем сначала, что $%S_p(n,1)=\sum_{k=1}^n k^p$% - многочлен от $%n$% степени не выше, чем $%p+1$%.

Используем математическую индукцию. При $%p=1$% имеем $%S_1(n,1)=n(n+1)/2$% - утверждение справедливо.
Пусть оно выполнено для некоторого $%p$%, т.е. $%S_p(n,1)$% -многочлен по $%n$% степени не выше, чем $%p+1$%. Рассмотрим $%S_{p+1}(n,1)=\sum_{k=1}^n k^{p+1}=\sum_{k=1}^n k \cdot k^p=\sum_{m=1}^nS_p(n,m)=\sum_{m=1}^nS_p(n,1)-\sum_{m=2}^nS_p(m-1,1)$% $%= nS_p(n,1)-\sum_{m=2}^nS_p(m-1,1)$%. Получили разность двух выражений, первое из которых является многочленом $%p+2$%-й степени, а второе тоже является многочленом (сумма многочленов), степень которого не может быть выше $%p+2$%, т.к. вся разность -положительная величина.
Утверждение доказано.

Теперь для того, чтобы найти $%S_p(n,1)$% достаточно записать его в виде многочлена $%p+1$%-й степени с неопределенными коэффициентами, и найти эти коэффициенты, подставив $%n=0,1,2...p+1$% и решив соответствующую систему линейных уравнений.

Например, при $%p=2$% имеем $$S_2(n,1)=An^3+Bn^2+Cn+D$$, $%S_2(0,1)=0$%, $%S_2(1,1)=1$%, $%S_2(2,1)=5$%, $%S_2(3,1)=14$%
Решив систему уравнений $$ \left\{\begin{matrix} D=0\\ A+B+C+D=1\\ 8A+4B+2C+D=5\\ 27A+9B+3C+D=14 \end{matrix}\right.. $$ находим $%A=1/3$%, $%B=1/2$%, $%C=1/6$%, $%D=0$%, т.е. $$ S_2(n,1)=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}=\frac{(n^2+n)(2n+1)}{6} $$

ссылка

отвечен 6 Июн '12 0:26

изменен 6 Июн '12 11:49

10|600 символов нужно символов осталось
0

Нужно воспользоваться равенством $%{( n+1 ) }^{ 3 } = { n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 } + 3n + 1$%. Далее $$\sum_{i = 1}^{n}{ {( i+1 )}^{3}} = \sum_{ i=1 }^{n}{i^3} + 3\sum_{i = 1}^n{i^2} + 3\sum_{i = 1}^n i +n$$. $$\sum_{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ 2 } } =\frac { \sum_{ i=1 }^{ n }{ { \left( i+1 \right) }^{ 3 } } -\sum_{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ 3 } } -3\frac { n\left( n+1 \right) }{ 2 } -n }{ 3 } =\frac { { \left( n+1 \right) }^{ 3 }-1-3\frac { n\left( n+1 \right) }{ 2 } -n }{ 3 } =$$$$=\frac { \left( n+1 \right) \left( { 2\left( n+1 \right) }^{ 2 }-3n-2 \right) }{ 6 }=$$

ссылка

отвечен 5 Июн '12 14:23

изменен 5 Июн '12 18:44

Подскажите, что дальше делать, пожалуйста.

(5 Июн '12 16:59) Sergey
1

@Anatoliy, не ставьте пробелы перед знаком нижнего индекса (подчеркиванием!) А то редактор воспринимает его как знак курсива и "портит" формулы. А мне потом править ;-))
Лучше научитесь вставлять формулы без редактора, тогда Вы будете контролировать ход набора.

(5 Июн '12 17:18) DocentI

Ох, уж этот редактор!

(6 Июн '12 13:42) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно использовать прием, аналогичный тому, который предложил @Anatoliy.
Запишем равенство $%(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n +1$% для конкретных значений n. Имеем $$2^3-1^3 = 3\cdot 1^2 + 3\cdot 1 + 1$$ $$3^3-2^3 = 3\cdot 2^2 + 3\cdot 2 + 1$$ $$4^3-3^3 = 3\cdot 3^2 + 3\cdot 3 + 1$$ $$. . . $$ $$(n+1)^3-n^3 = 3\cdot n^2 + 3\cdot n + 1$$ Теперь сложите все эти равенства, слева почти все сократится. А справа получим сумму квадратов, сумму натуральных чисел и сумму единиц с некоторыми коэффициентами. Думаю, две последних суммы Вы знаете. Значит, из полученного уравнения найдете и первую (искомую).

Впрочем, если формула Вам уже известна, ее можно просто доказать по индукции.

ссылка

отвечен 5 Июн '12 17:26

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если вы заранее знаете формулу $%1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},$% то можно доказать методом математической индукции.

При $%n=1,$% формула справедлива.

Предпологая справедливость равенства при $% n $%, докажем справедливость, при $%n+1$%

$%1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=$%

$%=\frac{(n+1)(2n^2+4n+3n+6)}{6}=\frac{(n+1)(2n(n+2)+3(n+2))}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},$%что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 5 Июн '12 21:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×544
×355

задан
5 Июн '12 14:07

показан
4046 раз

обновлен
6 Июн '12 13:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru