|
Подскажите, пожалуйста, как получить сумму для ряда квадратов от 1 до n. Как-то получают следующую сумму n(n+1)(2n+1)/6? задан 5 Июн '12 14:07 
Sergey |
|
Рассмотрим более общую задачу - как получить сумму $%p$%-x степеней $%n$% первых натуральных чисел. Обозначим $%S_p(n,m)=\sum_{k=m}^n k^p$% и заметим, что $%S_p(n,m)=S_p(n,1)-S_p(m-1,1)$%. Докажем сначала, что $%S_p(n,1)=\sum_{k=1}^n k^p$% - многочлен от $%n$% степени не выше, чем $%p+1$%. Используем математическую индукцию. При $%p=1$% имеем $%S_1(n,1)=n(n+1)/2$% - утверждение справедливо. Теперь для того, чтобы найти $%S_p(n,1)$% достаточно записать его в виде многочлена $%p+1$%-й степени с неопределенными коэффициентами, и найти эти коэффициенты, подставив $%n=0,1,2...p+1$% и решив соответствующую систему линейных уравнений. Например, при $%p=2$% имеем
$$S_2(n,1)=An^3+Bn^2+Cn+D$$, $%S_2(0,1)=0$%, $%S_2(1,1)=1$%, $%S_2(2,1)=5$%, $%S_2(3,1)=14$% отвечен 6 Июн '12 0:26 
Андрей Юрьевич |
|
Нужно воспользоваться равенством $%{( n+1 ) }^{ 3 } = { n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 } + 3n + 1$%. Далее $$\sum_{i = 1}^{n}{ {( i+1 )}^{3}} = \sum_{ i=1 }^{n}{i^3} + 3\sum_{i = 1}^n{i^2} + 3\sum_{i = 1}^n i +n$$. $$\sum_{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ 2 } } =\frac { \sum_{ i=1 }^{ n }{ { \left( i+1 \right) }^{ 3 } } -\sum_{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ 3 } } -3\frac { n\left( n+1 \right) }{ 2 } -n }{ 3 } =\frac { { \left( n+1 \right) }^{ 3 }-1-3\frac { n\left( n+1 \right) }{ 2 } -n }{ 3 } =$$$$=\frac { \left( n+1 \right) \left( { 2\left( n+1 \right) }^{ 2 }-3n-2 \right) }{ 6 }=$$ отвечен 5 Июн '12 14:23 
Anatoliy Подскажите, что дальше делать, пожалуйста.
(5 Июн '12 16:59)
Sergey
1
@Anatoliy, не ставьте пробелы перед знаком нижнего индекса (подчеркиванием!) А то редактор воспринимает его как знак курсива и "портит" формулы. А мне потом править ;-))
(5 Июн '12 17:18)
DocentI
Ох, уж этот редактор!
(6 Июн '12 13:42)
Anatoliy
|
|
Можно использовать прием, аналогичный тому, который предложил @Anatoliy. Впрочем, если формула Вам уже известна, ее можно просто доказать по индукции. отвечен 5 Июн '12 17:26 
DocentI |
|
Если вы заранее знаете формулу $%1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},$% то можно доказать методом математической индукции. При $%n=1,$% формула справедлива. Предпологая справедливость равенства при $% n $%, докажем справедливость, при $%n+1$% $%1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=$% $%=\frac{(n+1)(2n^2+4n+3n+6)}{6}=\frac{(n+1)(2n(n+2)+3(n+2))}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},$%что и требовалось доказать. отвечен 5 Июн '12 21:32 
ASailyan |