alt text

задан 20 Апр '15 20:09

10|600 символов нужно символов осталось
1

Будем вместо $%(\mathbb Z,+)$% рассматривать изоморфную ей бесконечную циклическую группу $%G=\langle a\rangle$% с образующим элементом $%a$%. Изоморфизм здесь задаётся правилом $%n\mapsto a^n$%.

Предположим, что $%G\cong G_1\times G_2$%, где $%G_1$% и $%G_2$% -- некоторые неединичные группы. Тогда им принадлежат элементы $%g_1\ne e$% и $%g_2\ne e$% соответственно. Элементы прямого произведения $%(g_1,e)$% и $%(e,g_2)$% при этом должны быть степенями одного и того же образующего бесконечной циклической группы. Пусть это элемент $%(x,y)$%, где $%x\in G_1$% и $%y\in G_2$%. Допустим, что $%(x,y)^m=(g_1,e)$% и $%(x,y)^n=(e,g_2)$% для некоторых целых $%m$%, $%n$%. Тогда из равенства $%x^m=g_1$% следует, что $%x\ne e$% и $%m\ne0$%, и аналогично из $%y^n=g_2$% следует $%y\ne e$%, $%n\ne0$%. Но тогда оказывается, что $%y^m=e$%, а это невозможно в бесконечной циклической группе, так как все неединичные элементы в ней имеют бесконечный порядок.

ссылка

отвечен 20 Апр '15 20:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×750
×588

задан
20 Апр '15 20:09

показан
409 раз

обновлен
20 Апр '15 20:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru