Доказать, что симметрическая группа $%S_3$% имеет $%6$% внутренних автоморфизмов и ни одного внешнего, причем группа автоморфизмов изоморфна $%S_3$%.

задан 21 Апр '15 1:42

10|600 символов нужно символов осталось
1

Легко заметить, что центр группы $%S_3$% тривиален. Это следует из того, что транспозция не коммутирует с тройным циклом. У всякой группы с этим свойством столько же внутренних автоморфизмов, сколько элементов. Действительно, если элементы $%g_1$%, $%g_2$% задают один и тот же внутренний автоморфизм, то $%g_1^{-1}xg_1=g_2^{-1}xg_2$% для любого $%x$% из группы, а это равносильно тому, что $%g_1g_2^{-1}$% принадлежит центру. В нашем случае это означает $%g_1=g_2$%.

То, что у группы $%S_n$% нет внешних автоморфизмов, верно для всех $%n$% кроме $%n=2$% и $%n=6$% (теорема Гёльдера). В общем виде этот факт доказывается сложнее, а для частного случая $%n=3$% можно предложить такое рассуждение. Ясно, что порядки элементов при автоморфизме сохраняются, поэтому транспозиция переходит в транспозицию (и тройной цикл -- в тройной цикл). Пусть $%(12)$% перешла в $%(ab)$%. Тогда $%(13)$% перешла в какую-то другую транспозицию, которая без ограничения общности имеет вид $%(ac)$% (разные буквы обозначают разные символы). Действие на обе транспозиции $%(12)$%, $%(13)$% при этом точно такое же, как и при сопряжении подстановкой $%1\mapsto a$%, $%2\mapsto b$%, $%3\mapsto c$%.

С учётом того, что эти две транспозиции порождают группу $%S_3$%, получается, что рассматриваемый автоморфизм совпадает с внутренним.

ссылка

отвечен 21 Апр '15 1:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,259

задан
21 Апр '15 1:42

показан
1623 раза

обновлен
21 Апр '15 1:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru