Найти все многочлены $%P(x,y,z)$% такие, что $$P\left(1-\frac1x,1-\frac1y,1-\frac1z\right)=0$$ для произвольных ненулевых $%x,y$% и $%z$% таких, что $%x+y+z=1$%.

задан 21 Апр '15 14:20

10|600 символов нужно символов осталось
2

Положим $%a=1-\frac1x$%, $%b=1-\frac1y$%, $%c=1-\frac1z$% и рассмотрим обратные зависимости, подставляя их в уравнение $%x+y+z=1$%. Получится рациональная функция, числитель которой равен $%F(a,b,c)=abc-a-b-c+2$%. Этот многочлен удовлетворяет условию задачи, а также все многочлены, на него делящиеся.

Для доказательства обратного утверждения разделим многочлен $%P(a,b,c)$% из условия на $%F(a,b,c)$%, рассматривая их как многочлены от $%c$% с коэффициентами из поля рациональных функций $%\mathbb Q(a,b)$%. Если остаток не является нулевым, то получается, что некоторая ненулевая рациональная функция от $%a,b$% обращается в ноль при любых $%a\ne1$%, $%b\ne1$% с дополнительным условием $%a+b\ne2$% (оно нужно, чтобы получилось $%z=1-x-y\ne1$%). Но так быть не может, потому что у числителя как многочлена от $%b$%, если он ненулевой, можно рассмотреть старший коэффициент, являющийся ненулевым многочленом от $%a$%. Тогда можно выбрать число $%a\ne1$%, для которого он не обращается в ноль, и далее у ненулевого многочлена от $%b$% указать число $%b\notin\{1;2-a\}$%, которое не является его корнем.

ссылка

отвечен 21 Апр '15 16:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×318
×74

задан
21 Апр '15 14:20

показан
1851 раз

обновлен
21 Апр '15 16:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru