Для положительных $%a,b$% и $%c$% доказать неравенство: $$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\ge a+b+c.$$

задан 21 Апр '15 14:57

10|600 символов нужно символов осталось
4

Сначала используем неравенство Коши-Шварца-Буняковского: $$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\times$$ $$\times \left(a(b^2-bc+c^2)+b(c^2-ca+a^2)+c(a^2-ab+b^2)\right)\times$$ $$\times\frac1{a(b^2-bc+c^2)+b(c^2-ca+a^2)+c(a^2-ab+b^2)}\ge$$ $$\ge\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a(b^2-bc+c^2)+b(c^2-ca+a^2)+c(a^2-ab+b^2)}.$$ Достаточно доказать, что $$(a^2+b^2+c^2)^2\ge(a+b+c)\left(a(b^2-bc+c^2)+b(c^2-ca+a^2)+c(a^2-ab+b^2)\right).$$ Последнее можно переписать так $$a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-c)(b-a)+c^2(c-a)(c-b)\ge0.$$ А это - неравенство типа Шура - см.доказательство @falcao в math.hashcode.ru/questions/46865/ .

ссылка

отвечен 24 Апр '15 19:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×252

задан
21 Апр '15 14:57

показан
6130 раз

обновлен
24 Апр '15 19:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru