$$\int \frac{dx}{ \sin^{6}x+ \cos^{6} x } $$

задан 21 Апр '15 20:17

изменен 21 Апр '15 20:50

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Знаменатель равен $%(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x)=\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x$%. Это выражение равно $%(\sin^2x+\cos^2x)^2-3\sin^2x\cos^2x=1-\frac34\sin^22x=\cos^22x+\frac14\sin^22x$%.

Теперь разделим числитель и знаменатель на квадрат косинуса. В числителе будет $%dx/\cos^22x=\frac12d(\tan2x)$%. В знаменателе окажется $%1+\frac14\tan^22x$%. Таким образом, интеграл будет равен $%2\int\frac{dy}{y^2+2^2}$%, где $%y=\tan2x$%. Это табличный интеграл, и в итоге получится $%\arctan(y/2)+C=\arctan(\frac12\tan2x)+C$%.

ссылка

отвечен 21 Апр '15 20:38

@falcao, добрый вечер )) С Вашего разрешения - я оставлю тут еще один вариант ? =))

(21 Апр '15 20:56) ЛисаА

@ЛисаА: да, конечно -- чем больше способов, тем лучше! Я в какой-то момент думал применить именно этот приём, то есть сразу поделить на степень косинуса для выражения 4-й степени. Но потом мне подумалось, что это будет сложновато. На самом же деле, получается интересный способ.

(21 Апр '15 21:09) falcao

@falcao, хуже всего то, что я сама не помню, и не могу точно сказать: сама я придумала решение, или вспомнила чье-то чужое, когда-то прочитанное.. ( у меня подозрение, что не решаю, а вспоминаю.. но у кого решение "позаимствовала", когда и где я это видела - я точно не помню.. =)) Интеграл такой, который должен бы быть во всех задачниках - и где-то он мне уже попадался, мне кажется =))

(22 Апр '15 2:52) ЛисаА

@ЛисаА: да, так частенько бывает, когда задача может восприниматься как "новая", а потом вдруг оказывается, что её уже решал. У меня даже в пределах форума так бывало не раз. А пример на интегрирование, кстати, достаточно неплохой. Мне понравилось то, что проверка тождественности ответов разного вида требует каких-то вычислений, пусть и несложных.

(22 Апр '15 10:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

А еще можно как-то так..
$%\int \frac{1}{cos^6 x \cdot ( tg^6 x + 1)}dx = \int\frac{d(tg x )}{cos^4 x \cdot ( tg^6x + 1)} = $%
Имеем: $%\frac{1}{cos^4 x} = ( \frac{1}{cos^2 x} )^2 = ( 1 + tg^2 x )^2$%, поэтому: $%= \int \frac{(1 + tg^2 x )^2\cdot d(tg x )}{tg^6 x +1 }$%
Обозначив $%t = tg x$%, получаем: $% = \int \frac {(1 + t^2)^2 dt}{t^6 + 1} = \int \frac{( 1 + t^2) ^2 dt}{( 1 + t^2 )\cdot ( t^4 - t^2 + 1 )} = \int \frac{( 1 + t^2 ) dt}{t^4 - t^2 +1}=$%
Разделим на $%t^2$% числитель и знаменатель дроби:
$%= \int \frac{( 1 + \frac{1}{t^2} )\cdot dt}{t^2 + \frac{1}{t^2} - 1} = \int \frac{d(t - \frac{1}{t})}{( t - \frac {1}{t} ) ^2 + 1} = arctg ( t - \frac{1}{t}) + C = arctg( tgx - \frac{1}{tg x}) + C$%

ссылка

отвечен 21 Апр '15 20:53

@ЛисаА: в задачнике ответ кстати как в первом решении)

(21 Апр '15 21:05) vlad_ivanov
1

Ответы оба верные. Хотя, доказывать, что $%arctg( tg x - \frac{1}{tg x} ) = arctg ( \frac{1}{2}\cdot tg(2x) ) + Const$% - это сложновато ( по-моему.. ) Проще взять производную от одного ответа, и от другого - обе производные будут равны, точнее, после преобразований обе производные сведутся к $%\frac{1}{cos^4 x - sin^2 x \cdot cos^2 x + sin^4 x}$%, что равно той дроби, которая была в исходном задании под интегралом..

(22 Апр '15 2:49) ЛисаА

достаточно домножить:
$%( cos^4 x - sin^2 x \cdot cos^2 x + sin^4 x )\cdot ( sin^2 x + cos^2 x ) = sin^6 x + cos^ 6 x$%
( домножили на $%( sin^2 x + cos^2 x)$%, то есть на $%1$% - значит, ничего не изменили..

(22 Апр '15 2:49) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,615
×1,045
×835

задан
21 Апр '15 20:17

показан
467 раз

обновлен
22 Апр '15 10:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru