Последовательности $%a_n$%, $%b_n$%, $%n \ge 1$% являются решениями каких-то однородных линейных рекуррентных уравнений. Нужно доказать, что $%c_n$%, $%d_n$% (тоже $%n\ge1$%) также являются решением таких уравнений (любых).
При этом $%c_n=a_n + b_n$%, $%d_n= a_n \cdot b_n$%.

задан 21 Апр '15 22:09

изменен 22 Апр '15 8:11

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Последовательности этого типа можно охарактеризовать следующим образом: общий член имеет вид $%x_n=c_1\lambda_1^n+\cdots+c_k\lambda_k^n$%, где $%c_i$% -- некоторые константы, а $%\lambda_i$% -- корни алгебраического уравнения. При сложении таких последовательностей получаются степени чисел, которые являются корнями произведения соответствующих уравнений. Например, если $%a_n=2^n-3^n$% и $%b_n=4\cdot5^n-\frac12\cdot7^n$%, то $%a_n+b_n$% будет соответствовать рекуррентной зависимости, получающейся из характеристического уравнения, корнями которого будут 2, -3, 4, 5.

Для произведения последовательностей вида $%x_n=c_1\lambda_1^n+\cdots+c_k\lambda_k^n$% и $%x_n=c_1\mu_1^n+\cdots+c_k\mu_k^n$% (можно считать, что $%k$% то же самое) получится линейная комбинация выражений вида $%\lambda_i\mu_j$%. Эти числа будут корнями уравнения $%\prod(t-\lambda_i\mu_j)$%.

Здесь не был охвачен случай кратных корней, но он отличается только тем, что вместо констант могут быть многочлены от $%n$%. Один случай сводится к другому либо непосредственно, либо с использованием дифференцирования. В принципе, это всё вытекает из общей теории возвратных последовательностей, которая изложена в литературе.

ссылка

отвечен 21 Апр '15 23:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×825
×261

задан
21 Апр '15 22:09

показан
275 раз

обновлен
21 Апр '15 23:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru