|
Не могу решить задачу... Точнее, даже не знаю, как к ней подступиться... Найти значения элементарных симметрических функций от компплексных корней n-й степени из 1. задан 22 Апр '15 3:38 
Ice_Fox
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
Придётся писать здесь, так как в комментариях уже не осталось места. Уравнение $%z^n=1$% в поле комплексных чисел имеет ровно $%n$% решений. Они находятся при помощи тригонометрической формы и даются следующей формулой: $%z_k=\cos\frac{2\pi k}n+i\sin\frac{2\pi k}n$%, где $%k=0,1,...,n-1$%. По этой причине многочлен раскладывается на множители: $%z^n-1=(z-z_0)(z-z_1)\ldots(z-z_{n-1})$%. Далее можно применить теорему Виета, которая работает для любого многочлена, разложенного на множители. Согласно этой теореме, значение симметрического многочлена $%s_m$% от корней находится по формуле $%s_m=(-1)^ma_m/a_0$%, где $%a_0z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_{n-1}z+a_n$% -- многочлен из левой части. В нашем случае $%a_0=1$%, $%a_1=\cdots=a_{n-1}=0$%, $%a_n=-1$%. Поэтому теорема Виета даёт $%s_1=s_1(z_0,\ldots,z_{n-1})=-a_1/a_0=0$%, ... , $%s_{n-1}=s_{n-1}(z_0,\ldots,z_{n-1})=(-1)^{n-1}a_{n-1}/a_0=0$%, $%s_n=s_n(z_0,\ldots,z_{n-1})=(-1)^na_n/a_0=(-1)^{n+1}$%. Это и есть ответ в задаче, а больше ничего делать не требуется. Скажем, не нужно решать систему, и так далее. отвечен 23 Апр '15 4:21 
falcao |
Запишите тождества Виета для уравнения $%z^n=1$%.
@Ice_Fox: достаточно ли того указания, который привёл @EdwardTurJ? Здесь все значения равны нулю кроме последнего (произведения). Это сразу следует из формул Виета.
@falcao, @EdwardTurJ, спасибо) А я верно понимаю, что мы ищем решение только в кольце целых чисел?
Если да, то можно приложить свое решение и попросить посмотреть на правильность?
@Ice_Fox: я не знаю, какую мысль Вы имеете в виду. Здесь числа являются комплексными, и функции от них, вообще говоря, принимают комплексные значения. Но в ряде случаев так оказывается, что эти значения могут оказаться целыми. Например, это так для данного примера. Но я бы не назвал это словом, что мы ищем решение в Z. Оно какое есть, такое и есть -- от нас это не зависит. Просто из теоремы Виета сам факт сразу следует. Он достаточно общий, и верен для любого уравнения. Значения симметрических многочленов от корней найти проще, чем сами корни. Решение, конечно, можно приложить.
@falcao, спасибо! Мое решение:https://yadi.sk/i/n-3Nai5MgBDdW
https://yadi.sk/i/PjQTDnA9gBDe5
То есть, у меня получилось, что решения есть только когда n/2 - нечетное. И в таком случае у нас корни полинома будут: половина единиц и половина минус единиц, в любом порядке... Мне это не очень нравится...
И еще остался вопрос... Как тогда можно объяснить, что решения присутствуют только в Z? Почему нет решений в области комплексных чисел? И в чем тогда смысл этого в условиях задачи?..
@Ice_Fox: то, что у Вас на первой странице написано -- это и есть то, что нужно. Там $%s_1=\cdots=s_{n-1}=0$%, и надо добавить только, что $%s_n=(-1)^{n-1}$%. То, что написано на второй странице, мне непонятно. От чётности $%n$% зависит только то, будет ли произведение корней равно 1 или -1. В каком смысле тут может не быть решений? Здесь ведь не уравнение решается, а вычисляются значения многочленов от конкретных комплексных чисел. Эти числа не повторяются, и они на комплексной плоскости расположены в вершинах правильного n-угольника, где одна из вершин есть 1.
Вот ссылка на всякий случай, чтобы постановка задачи была яснее.
@falcao, спасибо. Я знаю вроде, что такое корни из единицы, я просто не знаю, как это здесь использовать :)
Извините, а почему $% s_1=\cdots=s_{n-1}=0 $% и $% s_n=(-1)^{n-1} $%... Откуда оно следует?.. И получается у нас только одно решение для каждого n?