|
Пусть $%A$% и $%B -$% непустые, не пересекающиеся множества, для которых $%A \cup B=\left \{ 1,2,3,...,10 \right \}$%. Доказать, что существуют такие $%a \in A$% и $%b \in B$%, что число $%a^3+ab^2+b^3$% делится на $%11$%. задан 22 Апр '15 13:42 
Роман83 |
|
Обозначим через $%f(a,b)$% остаток от деления $%a^3+ab^2+b^3$% на $%11$%. Имеем цикл $$f(1,6)=f(6,3)=f(3,7)=f(7,9)=f(9,10)=f(10,5)=f(5,8)=f(8,4)=f(4,2)=f(2,1)=0.$$ Предположим, что утверждение задачи неверно, Тогда последовательно получаем, что числа $%1,6,3,7,9,10,5,8,4,2$% в одной группе. Противоречие. отвечен 22 Апр '15 14:35 
EdwardTurJ |