теория-чисел - Неравенства для суммы цифр числа

Приведу своё решение.

а) Для каждой цифры $%n$% от 0 до 9 значение $%d(n)=S(n)-S(2n)$% легко вычисляется; оно равно 0, -1, -2, -3, -4, 4, 3, 2, 1, 0 соответственно. Оказывается, что для числа $%n$% значение разности $%S(n)-S(2n)$% равно сумме значений этой величины по всем цифрам числа $%n$%. Например, $%S(19)-S(38)=d(1)+d(9)=-1+0=-1$%. Доказать это можно индукцией по количеству цифр в записи $%n$%. Если цифра одна, то всё доказано. Пусть цифр более одной. Рассмотрим случай, когда последняя цифра $%c$% не превосходит 4. Тогда она заменяется на $%2c$%, а число без этой цифры удваивается, и для него предположение верно. В этом случае всё достаточно очевидно.

Пусть $%c\ge5$%. Тогда она при удвоении превращается в $%2c-10$%, а единица переходит в следующий разряд. Число без последней цифры удваивается, и на конце не возникает цифры 9, поэтому прибавление единицы из предыдущего разряда увеличивает сумму цифр на 1. Получается, что вместо $%c$% возникает $%2c-9$%, и разность составляет $%9-c$%, что равно $%S(c)-S(2c)$% для этого случая.

Осталось заметить, что $%S(c)\le5S(2c)$% для каждой из цифр, откуда нетрудно вывести требуемое заключение с учётом эффекта аддитивности.

б) Здесь достаточно рассмотреть числа вида 333...34 с достаточно большим количеством троек. После умножения на 3 получается число вида 100...02 с суммой цифр 3.