Последовательность $%a_1,a_2,...,a_n,...$% состоит из натуральных чисел, причём $%a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$% при всех натуральных $%n$%.
а) может ли выполняться равенство $%4a_5 = 7a_4$%?
б) может ли выполняться равенство $%5a_5 = 7a_4$%?
в) при каком наибольшем натуральном $%n$% может выполняться равенство $%6na_{n+1}=(n^2+24)a_n$%?

задан 23 Апр '15 5:15

изменен 24 Апр '15 8:26

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

а) Предположим, что $%a_5=7a_4/4$%. Тогда $%a_3=a_5-a_4=3a_4/4$%, $%a_2=a_4-a_3=a_4/4$%, $%a_1=a_3-a_2=a_4/2$%. Полагая $%a_4=4$%, имеем такую последовательность (от первого члена): 2, 1, 3, 4, 7. Все условия выполнены; равенство выполняться может.

б) Здесь рассуждаем аналогично, полагая $%a_5=7a_4/5$%. Тогда $%a_3=2a_4/5$%, $%a_2=3a_4/5$%, и $%a_1=-a_4/5$%. Числа у нас натуральные, и тогда получается, что из $%a_4 > 0$% следует $%a_1 < 0$%, что невозможно. Значит, равенство не может выполняться.

в) Принцип тот же: полагаем $%a_{n+1}=\frac{n^2+24}{6n}a_n$%, и начинаем выражать предыдущие члены, следя за знаками чисел. Здесь будет $%a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=\frac{n^2-6n+24}{6n}a_n$%, $%a_{n-2}=a_n-a_{n-1}=\frac{-n^2+12n-24}{6n}a_n$%. Замечаем, что числитель здесь может принимать положительные значения. Далее $%a_{n-3}=a_{n-1}-a_{n-2}=\frac{2n^2-18n+48}{6n}a_n$% и $%a_{n-4}=a_{n-2}-a_{n-3}=\frac{-3n^2+30n-72}{6n}a_n$%. Здесь числитель равен $%-3(n^2-10n+24)=-3((n-5)^2-1)$%, и положительным он будет только при $%n=5$%.

Для этого значения, полагая $%a_5=30$%, строится такой пример последовательности (начиная с первого члена): 3, 8, 11, 19, 30, 49. Если же $%n > 5$%, то неравенство $%a_{n-4} > 0$% выполняться не может. Значит, $%n=5$% будет наибольшим значением.

ссылка

отвечен 23 Апр '15 13:27

БЛАГОДАРЮ, falcao!!!

(23 Апр '15 13:45) nick_1971
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×385

задан
23 Апр '15 5:15

показан
5059 раз

обновлен
23 Апр '15 13:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru