|
Многочлен $%P(x)=x^{2010} \pm x^{2009} \pm ... \pm x \pm 1$% не имеет действительных корней. Какое наибольшее количество коэффициентов этого многочлена может равняться $%-1$%? задан 23 Апр '15 15:00 
Роман83 |
|
Если $%P(x)$% не имеет действительных корней, то он всюду положителен. В частности, $%P(1) > 0$%, то есть коэффициентов $%+1$% среди всех 2011 должно быть больше, чем коэффициентов $%-1$%. В частности, последних не больше 1005. Рассмотрим теперь знакочередующуюся сумму: $%P(x)=x^{2010}-x^{2009}+\cdots-x+1$%. Ясно, что $%P(-1)=2011 > 0$%. При $%x\ne-1$% имеет место тождество $%P(x)=\frac{x^{2011}+1}{x+1}$%. Если $%x > -1$%, то числитель и знаменатель положительны. При $%x < -1$% они оба отрицательны. Следовательно, $%P(x) > 0$% для всех $%x$%, что даёт пример с 1005 "минусами". отвечен 23 Апр '15 15:34 
falcao |