|
В прямоугольном треугольнике АВС из вершины А прямого угла к гипотенузе ВС=12 проведена биссектриса $%АК = 7/\sqrt 2$%. Найти радиус вписанной окружности r треугольника АВС и в ответе указать значение 12r. задан 6 Июн '12 2:06 
yanina1957 |
|
Пусть a и b - катеты треугольника, с - его гипотенуза, $%\alpha$% - угол, противолежащий катету а. Биссектрису l прямоугольного треугольника можно найти по известной формуле $%{ l }^{ 2 }=ab\left( 1-{ \left( \frac { c }{ a+b } \right) }^{ 2 } \right) ={ c }^{ 2 }sin\alpha cos\alpha \left( 1-{ \left( \frac { c }{ csin\alpha +ccos\alpha } \right) }^{ 2 } \right)$%. Откуда $%{ l }^{ 2 }\cdot \left( 1+2sin\alpha cos\alpha \right) ={ c }^{ 2 }sin\alpha cos\alpha \cdot 2sin\alpha cos\alpha .$% Обозначим $%2sin\alpha cos\alpha =sin2\alpha =t$%. Получим уравнение $%144{ t }^{ 2 }-49t-49=0$% ($%D=49\cdot 625$%). Решение $%sin2\alpha =\frac { 7 }{ 9 }$%$%\Rightarrow \alpha =0,5arcsin\frac { 7 }{ 9 }$%. $%r=\frac { a+b-c }{ 2 } =\frac { 12\left( sin\left( 0,5arcsin\frac { 7 }{ 9 } \right) +cos\left( 0,5arcsin\frac { 7 }{ 9 } \right) -1 \right) }{ 2 }$%. $%12r=72\left( sin\left( 0,5arcsin\frac { 7 }{ 9 } \right) +cos\left( 0,5arcsin\frac { 7 }{ 9 } \right) -1 \right)$%. Если нужен результат в ином виде, то нужно воспользоваться формулами ( в данном случае) $%sin\frac { \alpha }{ 2 } =\sqrt { \frac { 1-\sqrt { 1-{ sin }^{ 2 }\alpha } }{ 2 } } ,cos\frac { \alpha }{ 2 } =\sqrt { \frac { 1+\sqrt { 1-{ sin }^{ 2 }\alpha } }{ 2 }. }$% отвечен 6 Июн '12 12:36 
Anatoliy Хороший вариант - второй.
(6 Июн '12 22:21)
DocentI
|
|
Используя формулы для площади найдем, что $%r = {ab\over a+b+c}$%. Пусть биссектриса делит гипотенузу на части $%x, y, x : y = a : b$%. Существует формула, выражающая длину гипотенузы через эти отрезки. Но можно вывести, используя теорему косинусов для двух частей исходного треугольника. Имеем
$$x^2 = a^2 + l^2 - al\sqrt 2$$ $$y^2 = b^2 + l^2 - bl\sqrt 2$$
Вычитая второе уравнение из первого получаем, что $%(x-y)(x+y)=(a-b)(a+b-l\sqrt 2)$%. отвечен 6 Июн '12 9:32 
DocentI |
|
Пусть $%CB=x$% и $%CA=y$% катеты треугольника, а $%CE$% биссектриса. По теореме Пифагора $% x^2+y^2=144$%. Согласно свойству биссектрисы $%\frac{BE}{AE}=\frac{x}{y}$%. Значит $% BE=\frac{12x}{x+y}, AE=\frac{12y}{x+y}$%. Есть такая простая формула для биссектриси $% CE^2=AC\cdot BC-BE\cdot AE$%. Получаем систему уравнений $% (x+y)^2-2xy=144,$% и $%xy-\frac{144xy}{(x+y)^2}=\frac{49}{2}$%. Откуда легко получается $% x+y=16, xy=56.$% И по формуле радиуса вписанной окружности (в прямоугольный треугольник)получаем $%r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{16-12}{2}=2$%
отвечен 6 Июн '12 14:24 
ASailyan |
