Найдите остаток от деления многочлена $%z^{200}-4z^{103}+1$% на $%z^2-\sqrt 2 z+1$%, и объясните, пожалуйста.

задан 23 Апр '15 20:31

изменен 24 Апр '15 18:28

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%z$% является (комплексным) корнем уравнения $%z^2-\sqrt2z+1=0$%. Тогда $%z^2=\sqrt2z-1$%. Домножим на $%z$%, получая $%z^3=\sqrt2z^2-z=z-\sqrt2$% и далее $%z^4=z^2-\sqrt2z=-1$%. Это значит, что многочлен $%z^4+1$% делится на $%z^2-\sqrt2z+1$%. Этот же факт можно получить без ссылок на комплексные числа: $%z^4+1=z^4+2z^2+1-2z^2=(z^2+1)^2-(\sqrt2z)^2=(z^2-\sqrt2z+1)(z^2+\sqrt2z+1)$%.

Исходя из этого мы можем заключить, что $%z^{200}-1=(z^8)^{25}-1$% делится на $%z^8-1$%, а потому и на $%z^4+1$%. Также $%z^{100}+1=(z^4)^{25}+1$% делится на $%z^4+1$%. Это позволяет заменить $%z^{200}$% на $%1$% и $%z^{100}$% на $%-1$%, в результате чего $%z^{200}-4z^{103}+1$% превратится в $%4z^3+2$%, что эквивалентно $%4(z-\sqrt2)+2$%, то есть остаток равен $%4z+2-4\sqrt2$%.

ссылка

отвечен 23 Апр '15 21:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×310
×104

задан
23 Апр '15 20:31

показан
331 раз

обновлен
23 Апр '15 21:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru