Добрый день.

$$\int \sqrt{4-x^2}$$

Я знаю, как например брать интеграл из $%\sqrt x $%. Это $%x^{\frac 12}$%. Есть формула в таблице интегралов.

Но как быть если под корнем операция, например, вычитания?

задан 24 Апр '15 2:47

изменен 24 Апр '15 18:36

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь уже такой простой способ не проходит. Нужно или применять интегрирование по частям, или воспользоваться заменой вида $%x=2\sin t$%. Тогда $%dx=2\cos t\,dt$%, и $%\sqrt{4-x^2}=2\sqrt{1-\sin^2t}=2\cos t$%. Получится $%4\int\cos^2t\,dt=2\int(1+\cos2t)dt=2t+\sin2t+C$%.

Теперь можно всё выразить снова через $%x$%, пользуясь тем, что $%\sin2t=2\sin t\cos t=x\sqrt{1-(\frac{x}2)^2}$% и $%t=\arcsin\frac{x}2$%. Окончательно получится $%2\arcsin\frac{x}2+\frac12x\sqrt{4-x^2}+C$%.

ссылка

отвечен 24 Апр '15 11:00

Спасибо за ответ. Но почему-то онлайн сервис сгенерировал чуть по другому - между 1/2 и корнем нет x.
И подставленные пределы показывают, что формула верная.

(24 Апр '15 15:24) flance

@flance: если онлайн-программа считает правильно, но ответ должен совпадать. Посмотрите внимательнее -- возможно, множитель х там стоит после квадратного корня. В любом случае, правильность ответа легко проверить дифференцированием.

(24 Апр '15 15:41) falcao

@falcao: У Wolframa'а действительно ошибка.

(24 Апр '15 15:55) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: я проверял на Вольфраме, но там как раз множитель х стоит после корня.

(24 Апр '15 16:00) falcao

@falcao: Я не прав, пробел после корня сбил с толку.

(24 Апр '15 16:03) EdwardTurJ

Вы действительно были правы. Там так же. Я просто был невнимательным) Большое спасибо, буду теперь пытаться разобрать по этапам, чтобы понять принцип

(24 Апр '15 18:26) flance

@flance: здесь была использована тригонометрическая замена, которая часто оказывается полезной при наличии выражений типа $%\sqrt{a^2-x^2}$%. Можно также применить интегрирование по частям; при этом возникает довольно интересный эффект. Можете посмотреть здесь решение аналогично примера этим способом.

(24 Апр '15 18:37) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×179

задан
24 Апр '15 2:47

показан
312 раз

обновлен
24 Апр '15 18:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru