Найти сумма $%x+y>0$% решений системы $$\begin{cases} x^2 - 2xy + 12 = 0 \\ x^2+4y^2\le 60 \\ x\in Z \end{cases}$$

задан 24 Апр '15 23:56

изменен 25 Апр '15 11:22

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Из первого уравнения $%x\ne0$% и $%y=\frac{x^2+12}{2x}=\frac{x}2+\frac6x$%. Если $%x < 0$%, то $%y < 0$%, и условие $%x+y > 0$% не выполняется. Поэтому $%x > 0$%, и с учётом того, что $%x$% целое и $%x^2\le60$%, можно вручную проверить каждое из значений $%x$% от 1 до 7. Каждому такому $%x$% соответствует определённое $%y$%, и остаётся отобрать те решения, для которых выполняется второе условие (неравенство).

Чтобы это всё не перебирать, можно заметить, что $%y\ge2\sqrt{\frac{x}2\cdot\frac6x}=2\sqrt3$% в силу неравенства о среднем. Тогда $%4y^2\ge48$%, и потому $%x^2\le12$%. Это сужает число вариантов до трёх. Если при этом заметить, что $%y^2\le15$%, то $%y < 4$%, и тогда станет ясно, что $%x=1$%, $%x=2$% не годятся. Остаётся $%x=3$%, для которого $%y=\frac72$%, и тогда неравенство $%x^2+4y^2=9+49 < 60$% верно. Таким образом, решение $%(x;y)$% с дополнительным условием $%x+y > 0$% единственно, и сумма $%x+y=3+\frac72=\frac{13}2$%.

Надо заметить, что задание неудачно сформулировано. Дело в том, что $%x+y$% нельзя называть суммой решений системы. Ведь решениями будут не сами $%x$% и $%y$%, а упорядоченные пары вида $%(x,y)$%. Кроме того, здесь априори не известно, есть ли решения вообще, или их может быть несколько, и тогда непонятно, что указывать в ответе.

ссылка

отвечен 25 Апр '15 0:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×278
×86

задан
24 Апр '15 23:56

показан
842 раза

обновлен
25 Апр '15 0:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru