Доказать, что если группа $%G$% гомоморфно отображена на группу $%G'$%, причём $%a \mapsto a'$%, то
1. Порядок $%a$% кратен порядку $%a'$%
2. Порядок $%G$% кратен порядку $%G'$%

Существует ли сюръективный гомоморфизм
1. $%\mathcal C_{24} \times \mathcal C_{18} \to \mathcal C_{16}$%
2. $%\mathcal C_{25} \times \mathcal C_{18} \to \mathcal C_{15}$% ?

задан 25 Апр '15 1:19

изменен 25 Апр '15 1:21

10|600 символов нужно символов осталось
1

1). Если порядок элемента $%g$% равен $%n$%, то условие $%g^k=e$% равносильно тому, что $%k$% кратно $%n$%. Это легко следует из теоремы о делении с остатком.

Если $%\phi$% -- гомоморфизм групп, и $%\phi(a)=a'$%, то $%(a')^n=\phi(a)^n=\phi(a^n)=\phi(e)=e$%, где $%n$% -- порядок $%a$%. Из предыдущего следует, что $%n$% кратно порядку $%a'$%.

2). По теореме о гомоморфизмах, $%G'\cong G/N$%, где $%N$% -- ядро гомоморфизма. Тогда $%|G'|=|G/N|=|G|/|N|$% есть делитель $%|G|$%.

По второй серии вопросов:

1) Пусть $%g=(a,b)\in C_{24}\times C_{18}$%. Тогда $%a^{24}=e$% и $%b^{18}=e$%, откуда следует, что $%g^{72}=(e,e)$%, так как $%72$% является кратным $%24$% и $%18$%. При гомоморфизме $%\phi\colon C_{24}\times C_{18}\to C_{16}$% элемент $%g$% переходит в элемент $%\phi(g)$%, для которого выполнены оба условия: $%\phi(g)^{72}=e$% и $%\phi(g)^{16}=e$%. Из них следует, что $%\phi(g)^8=e$%, поскольку $%8=16\cdot5-72$%. Это значит, что порядок $%\phi(g)$% не равен $%16$%. Получается, что $%\phi(g)$% не может быть образующим циклической группы порядка $%16$%, поэтому $%\phi$% не сюръективен.

2) Построим гомоморфизмы $%\phi\colon C_{25}\to C_5$% (возведение в 5-ю степень) и $%\psi\colon C_{18}\to C_3$% (возведение в 6-ю степень). Эти два гомоморфизма задают гомоморфизм $%\phi\times\psi\colon C_{25}\times C_{18}\to C_5\times C_3$%, но последняя группа изоморфна $%C_{15}$%, так как числа $%5$% и $%3$% взаимно просты. Действительно, если $%a$% имеет порядок $%5$%, а $%b$% имеет порядок $%3$%, то элемент $%(a,b)$% не равен единице ни в пятой степени, ни в третьей, и потому его порядок равен $%15$%. Следовательно, такой гомоморфизм будет сюръективным.

ссылка

отвечен 25 Апр '15 1:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730

задан
25 Апр '15 1:19

показан
483 раза

обновлен
25 Апр '15 1:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru