Дана матрица $%M_{n \times n}$%. Обозначим ее разные собственные значения $%t_1,t_2,...t_k$%. Известно, что $%\prod_{i=1}^{k} (M-t_iI)=0$%. Характеристический многочлен матрицы $%M$%: $%p_M (x)=x^n+\beta_{n-1} x^{n-1}+...+\beta_1 x + \beta_0$%. Надо доказать, что $%p_M(M)=0$%. (Не используя теорему Гамильтона-Кэли).

Уже долго пытаюсь решить, и никак не выходит. Явно упускаю что-то простое.

задан 25 Апр '15 11:46

изменен 25 Апр '15 12:26

Поскольку даны корни многочлена, он может быть разложен на линейные множители: $%p_M(x)=(x-t_1)\ldots(x-t_n)$%, где $%t_1,...,t_n$% -- корни с учётом кратности, и среди них есть все числа $%t_1,...,t_k$%. Тогда подставляем матрицу $%M$% вместо $%x$%, и за счёт присутствия этих чисел получаем нулевую матрицу по условию.

(25 Апр '15 14:43) falcao

@falcao - а как быть с кратностью? Допустим, где-нибудь в многочлене есть степень. Тогда если подставить матрицу будет проблема с коммутативностью (с числами, конечно все хорошо - можно все "лишние" $%(x-t_i)$% убрать в конец многочлена). Спасибо.

(25 Апр '15 16:10) mjko43

@mjko43: да, именно так: "лишние" члены убираем в конец, а проблем с коммутативностью не будет, потому что многочлены от одной и той же матрицы всегда коммутируют.

(25 Апр '15 16:12) falcao

@falcao - извините, может я не понимаю чего-то. Но разве следующее всегда верно: $%(M-t_1)(M-t_2)^2(M-t_3)=(M-t_1)(M-t_2)(M-t_3)(M-t_2)$% ? Ведь подставляя в многочлен матрицу мы получаем матрицу. Тут все члены - матрицы. А матрицы вот так менять местами, в общем, нельзя. Т.е. здесь не просто полиномы с числами в скобках, которые можно двигать как угодно. Почему здесь можно так поступить?

(25 Апр '15 16:26) mjko43

@mjko43: матрицы в общем случае не коммутируют, но очевидно, что $%M^sM^t=M^{s+t}=M^tM^s$%, то есть степени одной и той же матрицы перестановочны. Отсюда следует, что многочлены от одной и той же матрицы коммутируют. Поэтому матрицы типа $%2M^2-3M+5I$% и $%4M^3-3M+2I$% можно переставлять "не глядя". Ясно, что все случаи типа $%M-kI$%, $%M-tI$% относятся к этой серии.

(25 Апр '15 16:32) falcao

@falcao - спасибо, не знал, что многочлены от одной и той же матрицы коммутируют.

(25 Апр '15 16:56) mjko43
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,014

задан
25 Апр '15 11:46

показан
244 раза

обновлен
25 Апр '15 16:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru