$$\int\limits_0^{\sqrt 2} dy \int\limits_y^{\sqrt{4-y^2}} f(x,y) dx$$

$$0\le y \le \sqrt 2, \ y \le x \le \sqrt{4-y^2}$$ $$x=y \Rightarrow y=x$$ $$x=\sqrt{4-y^2} \Rightarrow y=\sqrt{4-x^2}$$ $$x=\sqrt{4-x^2} \Rightarrow x=\sqrt 2 \Rightarrow y=\sqrt{4-2}= \sqrt{2} \Rightarrow (\sqrt 2, \sqrt 2 )$$ Далее в решении запутался в точках.
Помогите, пожалуйста.

задан 25 Апр '15 16:55

изменен 25 Апр '15 19:08

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
3

У нас даны следующие неравенства: $%0\le y\le\sqrt2$%; $%y\le x\le\sqrt{4-y^2}$%. Надо начать с того, что нарисовать граничные линии. Для $%y=0$% и $%y=\sqrt2$% это совсем просто. То же касается прямой $%y=x$%. Уравнение $%x=\sqrt{4-y^2}$% задаёт дугу окружности $%x^2+y^2=4$%. С учётом $%y\ge0$% и $%x\ge0$%, нас интересует первая координатная четверть.

Теперь найдём точку пересечения четверти окружности с прямой $%y=x$%. Получится $%2x^2=x^2+y^2=4$%, то есть $%x=\sqrt2$%, и также $%y=\sqrt2$%. Это значит, что прямая $%y=\sqrt2$% проходит через эту точку пересечения.

Если сделать рисунок, то становится ясно, что областью интегрирования будет сектор, ограниченный прямыми $%y=0$%, $%y=x$% и дугой окружности. Прямая $%y=\sqrt2$% при этом как бы не играет роли. Теперь ясно, что $%x$% меняется от 0 до 2, но интеграл при этом придётся разбить на два. При $%0\le x\le\sqrt2$% границы для $%y$% получаются такие: $%0\le y\le x$%. А при $%\sqrt2\le x\le2$% получаются неравенства $%0\le y\le\sqrt{4-x^2}$%. Это видно из рисунка. Остаётся выписать сумму двух интегралов.

ссылка

отвечен 25 Апр '15 17:10

@falcao, на 3 секунды я опередил на этот раз. Прогресс уже

(25 Апр '15 17:12) epimkin

@epimkin: о, да! :) Правда, при моей чудовищной медлительности это не удивительно :)

(25 Апр '15 17:14) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

ссылка

отвечен 25 Апр '15 17:10

Спасибо за помощь.

(7 Май '15 12:31) Katrin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×242
×74

задан
25 Апр '15 16:55

показан
1313 раз

обновлен
7 Май '15 12:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru