Используя операции определения, доказать, что для любых множеств А,В,С справедливо соотношение: А в пересечении с (В\С)=(А в пересечении с В)$%\setminus$%(А в пересечении с С).

задан 25 Апр '15 20:24

изменен 25 Апр '15 20:38

falcao's gravatar image


272k83751

Такие вещи можно доказывать при помощи таблиц, при помощи кругов Эйлера, при помощи тождественных преобразований, или при помощи логических рассуждений. Вообще-то весь этот материал достаточно элементарен, и он разбирается в учебниках. Если нужны пояснения к какому-то из способов, то можно их дать.

В условии между двумя последними выражениями в скобках пропущен знак операции.

(25 Апр '15 20:37) falcao

никакого знака не пропущено. Можете пояснить, как доказать при помощи тождественных преобразований данную задачу. И что из себя представляют логические рассуждения. А то даны похожие задания, но нет ни одной подобной решённой.

(25 Апр '15 20:47) ko-ko

А в пересечении с (В\С) = (А в пересечении с В) ∖ (А в пересечении с С)

(25 Апр '15 20:50) ko-ko

@ko-ko: знак сейчас не пропущен, потому что я отредактировал текст. Символ в тесте присутствовал, но он был невидим, так как backslash является частью команд $%\TeX$%'а.

Сейчас попробую изложить оба способа.

(25 Апр '15 21:00) falcao

огромное вам спасибо! Разобралась..

(25 Апр '15 21:16) ko-ko
10|600 символов нужно символов осталось
0

Используем то, что $%X\setminus Y=X\cap\bar{Y}$% (пересечение с дополнением).

При помощи тождеств доказательство таково:

$%A\cap(B\setminus C)=A\cap(B\cap\bar{C})=A\cap B\cap\bar{C}$% для левой части. В правой части будет $%(A\cap B)\setminus(B\cap C)=(A\cap B)\cap\overline{B\cap C}=(A\cap B)\cap(\bar{B}\cup\bar{C})$% с использованием закона де Моргана. Далее применяем распределительный закон, раскрывая скобки. Получится объединение двух множеств. Первое из них равно $%A\cap B\cap\bar{B}$%, и оно является пустым. Второе равно $%A\cap B\cap\bar{C}$%. В объединении с пустым получается оно само, а это как раз то, что было в левой части.

Теперь при помощи рассуждения: пусть $%x$% -- произвольный элемент левой части. Тогда $%x\in A\cap(B\setminus C)$%. Это значит, что $%x\in A$% и $%x\in B\setminus C$%. Второе условие равносильно тому, что $%x\in B$% и $%x\notin C$%.

Теперь мы можем сделать вывод, что $%x\in A\cap B$%, а также то, что $%x\notin A\cap C$%. Значит, $%x$% принадлежит разности этих множеств, то есть правой части.

Это рассуждение доказывает, что произвольный элемент левой части принадлежит правой. Это означает включение множеств. Для доказательства обратного включения надо провести аналогичное рассуждение, взяв произвольный элемент правой части, и проверить, что он принадлежит левой. Это достаточно просто.

ссылка

отвечен 25 Апр '15 21:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×697

задан
25 Апр '15 20:24

показан
3294 раза

обновлен
26 Апр '15 10:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru