Доказать неразложимость в прямую сумму двух нетривиальных подгрупп:
а) аддитивной группы целых чисел;
б) аддитивной группы рациональных чисел.

задан 26 Апр '15 23:55

10|600 символов нужно символов осталось
1

Ответ на первый вопрос был дан здесь. Помнил, что это было не так давно, но долго не мог найти ссылку из-за не вполне подходящего заголовка.

Для группы $%(\mathbb Q,+)$% рассуждение такое. Предположим, что она изоморфна прямой сумме $%A\oplus B$% ненулевых групп. Для любых элементов $%x,y\in\mathbb Q$% верно такое свойство: они являются кратными одного и того же элемента. Действительно, если $%x=\frac{m}n$% и $%y=\frac{p}q$%, где $%m,p\in\mathbb Z$% и $%n,q\in\mathbb N$%, то оба элемента являются кратными $%z=\frac1{nq}$%, а именно, $%x=mqz$%, $%y=pnz$%.

Пусть $%a\in A$%, $%b\in B$% -- ненулевые элементы. При изоморфизме на $%\mathbb Q$% элементы $%(a,0)$% и $%(0,b)$% прямой суммы переходят в некоторые $%x$%, $%y$%, являющиеся общими кратными элемента $%z$%, который является образом некоторого элемента $%(c,d)$%, принадлежащего прямой сумме. При этом $%(a,0)=s(c,d)$% и $%(0,b)=t(c,d)$% для некоторых целых чисел $%s$%, $%t$%. Заметим, что $%s\ne0$% ввиду $%a\ne0$% и $%t\ne0$% ввиду $%b\ne0$%.

При этом имеют место равенства $%sd=0$% и $%tc=0$%. Группа $%\mathbb Q$% по сложению не имеет кручения, то есть в ней нет нетривиальных элементов конечного порядка. Проверяется это совсем просто: если $%k\cdot\frac{m}n=0$%, где $%k$% натуральное, то $%m=0$%. Это свойство сохраняется при переходе к подгруппе и при изоморфизме. Поэтому $%A$% и $%B$% -- группы без кручения. Отсюда следует $%d=0$% и $%c=0$%, так как множители $%s$% и $%t$% ненулевые. Но это сразу приводит к противоречию, так из $%(c,d)=(0,0)$% следует, что $%a=b=0$%.

ссылка

отвечен 27 Апр '15 0:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×750
×133
×90

задан
26 Апр '15 23:55

показан
462 раза

обновлен
27 Апр '15 0:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru