Пусть $%\mathcal{G = H_1 \oplus ... \oplus H_n}$% — разложение абелевой группы $%\mathcal G$% в прямую сумму подгрупп, $%\mathcal{x = h_1 ... h_n}$%, где $%\mathcal{h_i ∈ H_i, i = 1,...,n}$%. Доказать, что:
а) группа $%\mathcal G$% тогда и только тогда имеет конечный порядок $%\mathcal m$%, когда каждая подгруппа $%\mathcal H_i$% имеет конечный порядок $%\mathcal m_i$%, причем $%\mathcal m = m_1 × ... × m_n$%;
б) $%\mathcal x$% тогда и только тогда имеет конечный порядок $%\mathcal p$%, когда каждый из $%\mathcal h_i$% имеет конечный порядок $%\mathcal p_i$%, причем $%\mathcal p$% — наименьшее общее кратное всех $%\mathcal p_i$%;
в) группа $%\mathcal G$% тогда и только тогда является конечной циклической, когда все $%\mathcal H_i$% — конечные циклические, причем их порядки попарно взаимно просты.

задан 27 Апр '15 2:08

10|600 символов нужно символов осталось
1

Будем использовать мультипликативную запись. Элементы прямой суммы представим в виде упорядоченных наборов вида $%(h_1,\ldots,h_n)$%, где $%h_i\in H_i$%. Перемножаются они покомпонентно. Ясно, что если $%G$% конечна, то конечны и все подгруппы $%H_i$%. Из $%|H_i|=m_i$% для всех $%i$% следует, что $%|G|=m_1m_2\ldots m_n$% по правилу произведения в комбинаторике.

Если $%x=(h_1,\ldots,h_n)$% имеет порядок $%p$%, то $%h_i^p=e$% для всех $%i$%. Это равносильно тому, что $%p$% кратно каждому из чисел $%p_i$% (порядкам элементов). Наименьшее натуральное число, обладающее этим свойством, есть в точности НОК$%(p_1,\ldots,p_n)$%. Оно и будет порядком $%x$%.

Если $%G$% циклична, то все подгруппы $%H_i$% тоже циклические. То же насчёт конечности. Предположим, что все порядки групп $%H_i$% попарно взаимно просты и равны $%m_i$%. Рассмотрим образующие $%a_i$% этих подгрупп. Тогда элемент $%x=(a_1,\ldots,a_n)$% имеет порядок $%m_1\ldots m_n$% по предыдущему -- с учётом того, что НОК попарно взаимно простых чисел равно их произведению. Следовательно, $%x$% имеет порядок, равный порядку $%G$% с учётом самого первого пункта ($%|G|=|H_1|\cdot\ldots\cdot|H_n|=m_1\ldots m_n$%). Ввиду того, что порядок элемента совпадает с порядком группы, она совпадёт с циклической подгруппой этого элемента, то есть будет циклической.

Обратно, если $%G$% циклична, то она обладает элементом порядка $%m=m_1\ldots m_n$%. Пусть это элемент $%x=(h_1,\ldots,h_n)$%. Порядок $%d_i$% каждого элемента $%h_i$% делит $%m_i$% по следствию из теоремы Лагранжа. При этом $%x$% равен единице, если его возвести в степень НОК$%(d_1,\ldots,d_n)\le d_1\ldots d_n\le m_1\ldots m_n$%. Из определения порядка элемента следует, что во всех этих неравенствах имеют место равенства (в противном случае показатель $%m_1\ldots m_n$% не наименьший). В частности, $%d_i=m_i$% для всех $%i$%. Помимо этого, числа $%m_i$% попарно взаимно просты. Действительно, если у двух чисел есть нетривиальный общий делитель $%d$%, то их НОК меньше произведения (для двух натуральных чисел НОК равно произведению, делённому на НОД). Тогда НОК всех чисел становится меньше их произведения, что невозможно.

ссылка

отвечен 27 Апр '15 2:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×869
×97

задан
27 Апр '15 2:08

показан
1572 раза

обновлен
27 Апр '15 2:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru