Как найти поток векторного поля $%(y+z+x)i+2zj+(y-7z)k$% через внешнюю поверхность пирамиды образуемую плоскостью $%2x+3y+z=6$% и координатными плоскостями, не используя формулу Остроградского-Гауса.

задан 7 Июн '12 9:52

изменен 7 Июн '12 10:57

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Поток есть поверхностный интеграл $%\int\int (Pdydz + Qdzdx + R dxdy)$%

Надо разбить поверхность на отдельные грани. Каждая из них лежит на плоскости. Выбираем на каждой две независимые переменные, выясняем область, которую они пробегают и сводим интеграл к двойному.

Например, на плоскости $%2x + 3y + z = 6$% имеем $%z = 6 - 2x - 3y$%, значит, векторное поле приобретает вид $%P=6-x-2y, Q = 12-4x-6z, R = -42+14x +22 y$%.
Значения (x, y) граничены неравенствами $%x\ge 0, y\ge 0, x + 2y \le 6$%. Именно по этой области берется двойной интеграл. При этом dz также заменяется на d(6 - 2x - 3y).
Внешняя сторона пирамиды совпадает с верхней стороной грани, поэтому интеграл берется с "плюсом"

Все остальные грани ориентированы "неправильно". Например, у грани z = 0 берется нижняя сторона, поэтому при сведении к двойному интегралу результат надо взять "с минусом". Векторное поле при этом равно $%(x+y, 0, y)$%
Эта часть поверхностного интеграла примет вид $$-\int\int_D((x+ y)dy\cdot 0 + 0\cdot 0\cdot dx +y dx dy)=-\int\int_Dydxdy,$$ где D ограничена неравенствами $%x\ge 0, y\ge 0, x + 2y \le 6$%. Это та же область, что и в предыдущем интеграле (проекция пирамиды на плоскость Oxy).

ссылка

отвечен 7 Июн '12 15:05

изменен 7 Июн '12 21:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×61
×19

задан
7 Июн '12 9:52

показан
1455 раз

обновлен
7 Июн '12 21:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru