В трапеции $%ABCD$% с основаниями $%AD$% и $%BC$% биссектриса острого угла $%B$% перпендикулярна стороне $%CD$%, пересекает ее в точке $%E$%, и делит ее на отрезки $%DE$% и $%EC$%, один из которых в четыре раза больше другого. Найти площадь трапеции, если площадь четырехугольника $%ABED$% равна $%23$%.

задан 27 Апр '15 16:43

изменен 27 Апр '15 20:36

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@mihmah, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(27 Апр '15 20:35) Виталина
(27 Апр '15 21:03) EdwardTurJ

@EdwardTurJ, извините, не уследила =))
я действительно слежу не за всеми задачами здесь.. )
у Вас вроде проще тогда получилось - могу просто удалить свой коммент ? )

(27 Апр '15 23:42) ЛисаА

@ЛисаА: Упоминание о повторе это не Вам, а задавшему вопрос, чтобы пользовался поиском.

(27 Апр '15 23:45) EdwardTurJ

@EdwardTurJ, спасибо ) но я серьезно: удалить или оставить решение ? ( у меня-то вроде тоже все верно.. только дольше получилось.. )

(27 Апр '15 23:48) ЛисаА

@ЛисаА: Конечно же оставляйте!

(27 Апр '15 23:51) EdwardTurJ
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
4

Чтобы использовать слово "биссектриса" - продлеваем биссектрису $%BE$% до пересечения с прямой $%AD$% в точке $%K$%. Тогда получаем: треугольник $%ABK$% - равнобедренный, и треугольник $%CBE$% подобен треугольнику $%DKE$% с коэффициентом подобия $%k = 4$% ( т.к.по условию: если $%DE = x$%, то $%CE = 4x $% ).
Пусть площадь треуг-ка $%DKE$% равна $%S_0$%. Тогда $%S_{BCE} = 16\cdot S_0$%.
Проведем через точку $%A$% прямую параллельную стороне $%CD$% - $%AF$%||$%DC$%, точка $%F$% - пересечение $%AF$% и $%BC$%, и т. $%O$% - пересечение $%AF$% с $%BE$%. Получаем: $%ADCF$% - параллелограмм, и $%AF = DC = 5x$%. И в треугольнике $%ABF$% биссектриса $%BO$% является одновременно высотой -- значит, треуг-к равнобедренный ( $%AB = BF$% ), и $%BO$% - так же и медиана. Т.е. $%AO = FO = (5x)/2$%. Поэтому для пары подобных треугольников $%AOK$% и $%DEK$% коэффициент подобия $%m = 5/2$%. Т.е. площадь треуг-ка $%S_{AOK} = (5/2)^2\cdot S_0 = 25/4\cdot S_0$%. И так как треугольник $%AOK$% равен треу-ку $%AOB$%, то $%S_{ABK} = 25/2\cdot S_0$%. А площадь 4-угольника $%ABED$% тогда $%S_{ABED} = 25/2\cdot S_0 - S_0 = 23/2\cdot S_0$%. То есть $%23/2\cdot S_0 = 23$%, откуда $%S_0 = 2$%. Значит $%S_{CBE} = 16\cdot S_0 = 32$%, и площадь всей трапеции тогда $%S_{ABCD} = 23 + 32 = 55$%

alt text

ссылка

отвечен 27 Апр '15 19:39

изменен 27 Апр '15 19:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×265
×81
×32

задан
27 Апр '15 16:43

показан
1271 раз

обновлен
27 Апр '15 23:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru