С помощью формулы Грина вычислить:

$%\int\limits_G (1-x^2)y dx + (1+y^2) dy$%, где $%G$% - окружность $%x^2+y^2=Ry$%, пробегая в положительном направлении.

$%P(x,y)= (1-x^2)y \Rightarrow \frac {dP}{dy}=-2xy$%; $%Q(x,y)=1+y^2 \Rightarrow \frac {dQ}{dx}=0$%

$%\int\limits_{x^2+y^2=Ry} Pdx+Qdy=\int\int\limits_{x^2+y^2=Ry} \left(\frac {dQ}{dx}-\frac {dP}{dy}\right)dx dy=\int\int(2xy)dx dy=...$%

Подскажите как решать далее.

задан 27 Апр '15 17:49

изменен 1 Май '15 23:02

1

Граница области интегрирования -- окружность $%x^2+(y-R/2)^2=(R/2)^2$%. Удобно ввести полярные координаты (со сдвигом): $%x=r\cos\varphi$%, $%y=R/2+r\sin\varphi$%. Остальное -- примерно как в аналогичной задаче с использованием полярных координат.

(27 Апр '15 19:54) falcao

А какие здесь будут пределы интегрирования для r и φ ?

(1 Май '15 23:28) Katrin
1

@Demit: здесь идёт интегрирование по кругу. Поэтому $%r$% меняется от нуля до радиуса круга, равного R/2, а угол ф -- от 0 до 2п.

(1 Май '15 23:36) falcao

Ответ будет ноль?

(2 Май '15 13:20) Katrin
1

@Demit: да, в ответе 0, что ясно из соображений симметрии. Область симметрична относительно замены x на -x, а функция при этом меняет знак.

(2 Май '15 16:03) falcao

Спасибо за помощь.

(7 Май '15 12:32) Katrin
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,423
×73

задан
27 Апр '15 17:49

показан
537 раз

обновлен
7 Май '15 12:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru