Пусть $%x \in \mathbb R$% такое, что $%x + \frac 1x$% - целое число. Доказать, что $%x^n + \frac 1{x^n}$% также целое для всех $%n$% натуральных.

задан 27 Апр '15 23:25

изменен 28 Апр '15 8:36

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

1

$$n=2: x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2.$$ $$n\rightarrow n+1: x^{n+1}+1/x^{n+1}=(x^n+1/x^n)(x+1/x)-(x^{n-1}+1/x^{n-1}).$$

(27 Апр '15 23:34) EdwardTurJ

Мне не понятно, почему последней записи достаточно для доказательства.

(28 Апр '15 0:31) Valerie

@Valerie: это метод математической индукции. По условию, утверждение верно при $%n=1$%. Первая строчка показывает, что оно верно при $%n=2$%. А вторая строчка показывает, что если оно верно для каких-то последовательных чисел типа 7 и 8, то оно верно для 9. Зная, что оно верно для 8 и 9, получаем, что оно верно для 10, и так далее.

(28 Апр '15 0:50) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×987
×490

задан
27 Апр '15 23:25

показан
2704 раза

обновлен
28 Апр '15 0:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru