Докажите неравенство $%n\big(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n} \big)\geq\big(a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\big)\big(b_{1}+b_{2}+...+b_{n}\big)$% если известно, что из условия $% a_{i} < a < a_{j}$% следует, что $% b_{i} \leq b_{j}$% , где $%a = \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n} $%

задан 27 Апр '15 23:42

изменен 28 Апр '15 10:12

EdwardTurJ's gravatar image


1641294194

10|600 символов нужно символов осталось
2

Надо доказать, что $%a_1b_1+\cdots+a_nb_n\ge a(b_1+\cdots+b_n)$%. Пусть $%a_1,\ldots,a_k < a < a_{k+1},\ldots,a_n$%. Тогда существует такое $%b$%, что $%b_1,\ldots,b_k\le b\le b_{k+1},\ldots,b_n$%. Перепишем неравенство в таком виде: $%(a_{k+1}-a)b_{k+1}+\cdots+(a_n-a)b_n\ge(a-a_1)b_1+\cdots+(a-a_k)b_k$%. Заметим, что среди чисел $%a_i$% могли быть такие, которые равны $%a$%, но тогда соответствующие слагаемые равны нулю, и их можно игнорировать. При этом среднее арифметическое остаётся прежним.

Левая часть неравенства не меньше $%b(a_{k+1}+\cdots+a_n-(n-k)a)$%, а правая не больше $%b(ka-(a_1+\cdots+a_k))$%. Нетрудно заметить, что выражения в скобках равны друг другу, откуда всё следует.

ссылка

отвечен 28 Апр '15 2:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×252

задан
27 Апр '15 23:42

показан
654 раза

обновлен
28 Апр '15 10:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru