Найти уравнение кривой на плоскости $%xy$%, которая проходит через точку $%(1,1)$% и пересекает все линии уровня функции $%f(x,y) = {x^4} + {y^2}$% под прямым углом.

задан 28 Апр '15 0:51

изменен 28 Апр '15 2:40

Имеется в виду, что все линии уровня данной функции кривая пересекает под прямым углом?

(28 Апр '15 0:52) falcao

А как тогда понять слова "все кривые"?

Я предлагаю для ясности подправить текст. Выражение "линии уровня функции" стандартно; оборот "пересекает по уровню" -- непонятен. Также непонятно, что такое "все кривые функции".

Моя трактовка верна или нет? Нужно уравнение кривой, проходящей через (1;1) и пересекающей все линии уровня функции f(x,y) под прямым углом?

(28 Апр '15 1:01) falcao

На каждом уровне, в зависимости от параметра $%C$% нужно найти кривую которая бы проходила через точку $%(1,1)$% и пересекала бы $%f(x,y) = C$% под прямым углом.

(28 Апр '15 1:16) night-raven

@void_pointer: я всё равно не понимаю того языка, на котором Вы изложили условие. Вопросы всё те же: что значит "пересекает по уровню", и что такое "кривые функции". По-моему, так говорить не принято.

У меня получилось следующее: $$y=e^{\frac14-\frac1{4x^2}}.$$

(28 Апр '15 1:23) falcao

Да верно) За формулировку извиняюсь, переводил с Английского) Суть задачи в том, что на каждом уровне, у нас будут кривые (Именно кривые а не линии. Линия это прямая, а кривая она изогнута...) типа $%{x^4} + {y^2} = C$%. Задача: найти такую функцию типа $%y = g(x)$%, чтобы она пересекала $%{x^4} + {y^2} = C$% под прямым углом и проходила через $%(1,1)$%. У вас верное решение, другое дело как вы к нему пришли? Через градиенты?

(28 Апр '15 1:25) night-raven

Я составил дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. В точности такое, как у @trongsund ниже. Понятно, что касательная параллельна градиенту, то есть всё стандартно.

P.S. Оригинал на английском можно привести -- чисто ради любопытства?

P.P.S. Линии бывают как прямые, так и кривые. "Прямая линия", "кривая линия" -- устойчивые обороты русского языка.

(28 Апр '15 1:52) falcao

Задачка из книжки Адамса Calculus - http://s019.radikal.ru/i606/1504/6f/b93fcd5af456.png

Авторское решение - http://i008.radikal.ru/1504/ae/5551c7f9ae5a.png

По задумке автора задачу нужно решать через направляющие производные.

(28 Апр '15 2:04) night-raven
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Вопрос отвечен и ответ принят". Закрывший - night-raven 28 Апр '15 2:39

1

$%\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{4x^3},$% $%d(\ln y)=-d\dfrac{1}{4x^2},$% $%y = Ae^{-\tfrac{1}{4x^2}}, A = e^{\tfrac14}.$%

ссылка

отвечен 28 Апр '15 1:44

Ответ верный, но я не могу его засчитать так как считаю, что авторское решение куда более интересное. Тем не менее спасибо за решение.

(28 Апр '15 2:19) night-raven
10|600 символов нужно символов осталось
0

Оригинал из книжки Адамса - Calculus

Условие: alt text

Авторское Решение: alt text

Перевожу авторский адвед:) Он мне показался довольно-таки симпатичным:

Пусть искомая кривая $%y = g(x)$%. В точке $%(x,y)$% эта кривая будет иметь градиент $%\nabla (g(x) - y) = g'(x)\,i - j$%. Кривая семейства $%{x^4} + {y^2} = C$% имеет градиент $%\nabla ({x^4} + {y^2}) = 4{x^3}\,i + 2y\,j$%. Эти кривые пересекутся под прямым углом если векторный продукт их градиентов будет равен нулю: $$0 = 4{x^3}g'(x) - 2y = 4{x^3}g'(x) - 2g(x)$$ $$\frac{{g'(x)}}{{g(x)}} = \frac{1}{{2{x^3}}}$$

Интегрируем левую и правую часть и получаем $$\ln \left| {g(x)} \right| = - \frac{1}{{4{x^2}}} + \ln \left| C \right| \Leftrightarrow g(x) = C \cdot {e^{ - \frac{1}{{4{x^2}}}}}$$ Так как кривая проходит через точку $%(1,1)$% в итоге получим $$y = {e^{\frac{1}{4} - \frac{1}{{4{x^2}}}}}$$

ссылка

отвечен 28 Апр '15 2:17

изменен 28 Апр '15 2:28

Термин ``level curves" переводится в точности как "линии уровня".

Решение идентично тому, которое было дано @trongsund. Разница только в обозначении: $%g(x)$% вместо $%y(x)$%. Уравнение то же, формулы те же.

(28 Апр '15 2:26) falcao

Сам алгоритм решения у @trongsund действительно приведет к верному ответу, но чтобы понять суть задачи нужно понять что и почему мы дифференцируем. Перед тем как решать дифур нужно обьяснить как этот дифур образовался. То есть я считаю, что нужно обосновать условие перпендикулярности двух кривых через производные по направлению (в данном случае это градиенты). Сам дифур естественно не сложный. И после его составления задача не вызывает интереса.

(28 Апр '15 2:37) night-raven
10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,043

задан
28 Апр '15 0:51

показан
668 раз

обновлен
28 Апр '15 2:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru