1) $%y''+4y'+4y=\cos 2x $%;
2) $%y''+4y'+4y=xe^{2x}$%;
3) $%y''=\frac 1{\cos^2x}$%, $%y(\frac \pi4)=\frac {\ln 2}2$%, $%y'(\frac \pi 4)=0$% - здесь также нужно найти частное решение (интеграл).

задан 28 Апр '15 10:31

изменен 28 Апр '15 15:36

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Все эти примеры решаются по стандартным схемам из учебника.

(28 Апр '15 14:20) falcao

1)$%y''+4y'+4y=cos(2x)$%

Рассмотрим левую часть уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение: $%k^2+4k+k=0$%

$%D=4^2-4*4=0$%

$%k_{1,2}=-2$%

Корни характеристического уравнения: Корень характеристического уравнения $%k_{1}=-2$% кратности 2. Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:$%y_1=e^{-2x}, y_2=xe^{-2x}$%

Общее решение однородного уравнения имеет вид: $%y_0=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}$%

Рассмотрим правую часть:$%f(x)=\cos(2x)$%

Уравнение имеет частное решение вида:

$%y* = Acos(2x) + Bsin(2x)$%

Вычисляем производные:

$%y' = -2Asin(2x)+2Bcos(2x)$%

$%y'' = -4Acos(2x)-4Bsin(2x)$%

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

$%y'' + 4y' + 4y =$%

$%= (-4Acos(2x)-4Bsin(2x)) + 4(-2Asin(2x)+2Bcos(2x)) + 4(Acos(2x) + Bsin(2x)) =$%

$%= cos(2x)$%

$%-8Asin(2x)+8Bcos(2x) = cos(2x)$%

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $%x$%, получаем систему уравнений:

$%\begin{cases}-8A = 0\8B = 1\end{cases}$%

$%\begin{cases}A=0\B = \frac{1}{8}\end{cases}$%

Частное решение имеет вид: $%y* = 0cos(2x) + \frac{1}{8}sin(2x)$%

$%y* = \frac{1}{8}sin(2x)$%

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

$%y=y_0+y*=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}+\frac{1}{8}sin(2x)$%

(28 Апр '15 14:55) s1mka

2) $%y''+4y'+4y=xe^{2x}$%

$%k^2 +4 k+ 4 = 0$%

$%D = 4^2 - 4 \times 1 \times 4 = 0$%

$%k_{1,2}=−2$%

Корни характеристического уравнения (корень характеристического уравнения $%k_{1}=−2$% кратности 2).

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: $%y_1 = e^{-2x}$% $%y_2 = xe^{-2x}$%

Общее решение однородного уравнения имеет вид: $%y_0=C_1 e^{-2x}+C_2x e^{-2x}$%

Рассмотрим правую часть: $%f(x) = xe^{2x}$%

Вычисляем производные:

$%y' = Ae^{2x}+2(B+Ax)e^{2x}$%

$%y'' = 4Ae^{2x}+4(B+Ax)e^{2x}$% которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

$%y'' + 4y' + 4y = (4Ae2x+4(B+Ax)e^{2x}) + 4(Ae^{2x}+2(B+Ax)e^{2x}) + 4((Ax + B)e^{2x}) = xe^{2x}$%

$%8Ae^{2x}+16Be^{2x}+16Axe^{2x} = xe^{2x}$%

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $%x$%, получаем систему уравнений:

$%1: 8A + 16B = 0$%

$%x: 16A = 1$%

Решая ее, находим: $%A = \frac{1}{16};B = -\frac{1}{32};$%

Частное решение имеет вид: $%y* = (\frac{1}{16}x -\frac{1}{32})e^{2x}$%

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: $%y=y_0+y*=C_1 e^{-2x}+C_2x e^{-2x}+(\frac{1}{16}x -\frac{1}{32})e^{2x}$%

(28 Апр '15 15:07) s1mka
10|600 символов нужно символов осталось
0

3) $%y''=\frac{1}{cos^2x}, y(\frac{\pi}{4})=\frac{ln(2)}{2}, y'(\frac{\pi}{4})=0 $%

$%y'=\int \frac{1}{cos^2x}dx=tg(x)+C_1$%

при $%x=\frac{\pi}{4}, y'=0$%

$%0=tg(\frac{\pi}{4})+C_1$%

$%tg(\frac{\pi}{4})=1$%

$%C_1=-1$%

$%y=\int (tg(x)-1)dx=-x-lg(cos(x))+C_2$%

ссылка

отвечен 28 Апр '15 16:49

@s1mka помогите, пожалуйста решить еще уравнение $%y''+2y'-3y=x^2e^x$%, левая часть у меня получилась, а вот правая не очень. Уравнение имеет частное решение вида $%y=(Ax+B)e^{2x}$%, да?

(12 Май '15 20:22) rozanovam2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×826
×44

задан
28 Апр '15 10:31

показан
1033 раза

обновлен
12 Май '15 20:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru