$$\int \frac x{(2x^2-x+2)^{\frac 12}} dx$$

задан 28 Апр '15 10:32

изменен 28 Апр '15 15:38

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если представить $%x$% как $%\frac14(4x-1)+\frac14$%, то получается два интеграла. Один из них имеет вид $%\int\frac{f'(x)\,dx}{\sqrt{f(x)}}$%, а второй при помощи линейных замен приводится а табличному интегралу типа $%\int\frac{dy}{\sqrt{y^2+b^2}}$%.

Добавление. Интеграл равен $%\frac14\int\frac{(4x-1)dx}{\sqrt{2x^2-x+2}}+\frac14\int\frac{dx}{\sqrt{2x^2-x+2}}$%. Первое слагаемое даёт $%\frac14\int\frac{d(2x^2-x+2)}{\sqrt{2x^2-x+2}}=\frac12\sqrt{2x^2-x+2}$%. Во втором слагаемом выносим множитель, чтобы под знаком корня осталось $%x^2-\frac12x+1=(x-\frac14)^2+\frac{15}{16}$%. Получается $%\frac1{4\sqrt2}\int\frac{d(x-\frac14)}{\sqrt{(x-\frac14)^2+a^2}}$%, где $%a=\frac{\sqrt{15}}4$%. Обращаемся к таблицам, согласно которым $%\int\frac{dy}{\sqrt{y^2+a^2}}=\ln|y+\sqrt{y^2+a^2}|+C$%.

Итоговый ответ будет такой: $%\frac12\sqrt{2x^2-x+2}+\frac1{4\sqrt2}\ln|x-\frac14+\sqrt{x^2-\frac12x+1}|+C$%.

Выражение под знаком логарифма можно "для красоты" умножить на $%\sqrt2$% -- это будет равносильный ответ.

ссылка

отвечен 28 Апр '15 15:53

изменен 30 Апр '15 22:46

@falcao Получается, один интеграл 1/4(4x-1)/ корень, а второй 1/корень. Выражение под корнем можно сжать, как ((корень из 2*x-1/(2корень из2) +15/8 и все это под корнем. А дальше?

(30 Апр '15 22:02) rozanovam2

@rozanovam2: мне очень трудно читать формулы в таком виде. Я даже не могу оценить, верно это или нет. Мне проще целиком всё написать. Я сделаю сейчас добавление.

(30 Апр '15 22:31) falcao

@rozanovam2, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.

(1 Май '15 8:56) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,052

задан
28 Апр '15 10:32

показан
327 раз

обновлен
1 Май '15 8:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru