$$\int\limits_1^{+\infty} \frac {e^{(-x)}dx}{x^2}$$ $$\int\limits_0^{+\infty} \frac {x \cos x}dx $$

задан 28 Апр '15 10:37

изменен 13 Май '15 7:25

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@rozanovam2, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(28 Апр '15 15:43) Виталина

@rozanovam2: во втором выражении формула набрана с ошибкой. Там вроде бы дробь имеется в виду, но непонятно, какая именно. Что в числителе, и что в знаменателе?

(12 Май '15 17:28) falcao

@rozanovam2: условие второго примера воспроизведено неправильно. Дифференциал распался на части, и буква d ушла в знаменатель. Такого быть не должно.

Если это $%\int_0^{\infty}\frac{\cos x\,dx}x$%, то см. признак Дирихле.

(13 Май '15 0:57) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Сравним подинтегральную функцию с функцией $%\frac 1{x^2}$%: $%\frac {e^{(-x)}dx}{x^2} < \frac 1{x^2}$%.
Интергал $%\int\limits_1^\infty \frac 1{x^2}$% сходится $%(2>1)$%, следовательно (по теореме - если $%a(x) < c(x)$% и интеграл $%c(x)$% сходится, сходится и $%a(x)$%) будет сходиться и ваш интеграл.

ссылка

отвечен 28 Апр '15 13:22

изменен 28 Апр '15 15:43

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Можно также использовать то, что $%x\ge1$%, и применить оценку сверху вида $%e^{-x}$%.

(28 Апр '15 14:23) falcao

@Valerie Извините, пожалуйста, не могли бы вы, если не составит трудности, исследовать также нижний интеграл? Там подинтегральная функция $% x \cos x dx$%.

(12 Май '15 19:34) rozanovam2

Интеграл от этой функции можем написать по определению: $%\lim\limits_{z \to +\infty} \int\limits_0^z$% заданной функции. Далее, интегрируем по частям $%x \cos xdx= x \sin x - \int \sin x dx$%, в нашем случае выйдет $%z \sin z + \cos z$%.
В итоге: при $%z \to +\infty$% сумма $%z \sin z + \cos z$% не имеет предела, а значит, интеграл расходится.

(13 Май '15 0:52) Valerie
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×212
×91

задан
28 Апр '15 10:37

показан
468 раз

обновлен
13 Май '15 0:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru