1. Исследовать сходимость ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(x-3)^n}{(2n-1)(n+1)^{\frac 12}}$$

  1. Найти промежуток сходимости степенного ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin^2n}{n^2+1}$$

задан 28 Апр '15 11:02

изменен 28 Апр '15 15:46

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Здесь, судя по всему, второй из рядов относится к первому заданию, и наоборот.

(28 Апр '15 14:19) falcao
1

Второй ряд сходится абсолютно по признаку сравнения (он мажорируется рядом $%\sum 1/n^2$%, сходящимся по интегральному признаку. В первом примере надо рассмотреть корень $%n$%-й степени из знаменателя. Он стремится к 1. Тогда по формуле Коши - Адамара, радиус сходимости тоже равен 1. Легко видеть, что при $%|x-3|\le1$% ряд будет сходиться, а при остальных $%x$% расходиться.

(28 Апр '15 15:57) falcao

@falcao то есть мы во втором случае просто подбираем гармоническое выражение,и если его предел = 0, то ряд расходится, а если >0, то он сходится? или не так?

(29 Апр '15 21:55) rozanovam2
1

@rozanovam2: а что такое "гармоническое выражение"? Такого термина нет. Есть гармонический ряд $%\sum 1/n$%, он расходится. При том, что общий член к нулю стремится. Здесь важно то, что ряды $%\sum 1/n^c$% сходятся при $%c > 1$% в силу интегрального признака, а у нас $%c=2$%.

(29 Апр '15 21:59) falcao

@falcao Хорошо, со вторым понятно. А в первом как вы решили? по признаку Даламбера нашли предел, он равен 1 и это будет радиус сходимости, так? а дальше что мы делаем?

(29 Апр '15 22:43) rozanovam2

@rozanovam2: я не применял признак Даламбера. У меня использовалась формула Коши - Адамара, когда извлекается корень n-й степени. Она здесь более удобна. Формулировку см. в учебнике или в Википедии. Если радиус сходимости равен $%R$%, то при $%|x-3| < R$% ряд сходится (по определению радиуса сходимости). При $%|x-3| > R$% он расходится. Случай равенства исследуется вручную -- у меня всё это написано.

(29 Апр '15 22:53) falcao

@falcao проверьте, пожалуйста... так оформлять надо? http://cs622323.vk.me/v622323841/2f628/MqPX0YGEXaE.jpg

(30 Апр '15 0:10) rozanovam2
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Приходится писать здесь.

Я уже говорил, что лично мне использование признака Коши кажется более уместным. При использовании признака Даламбера надо оговаривать то, что $%x-3\ne0$%, так как на эту величину мы делим. С другой стороны, при $%x=3$% ряд является нулевым, и он сходится. Поэтому далее это значение добавляем в ответ.

В тексте есть опечатки ($%2n-1$% временно превращается в $%2n$%). Кроме того, случай $%R=1$% нужно разбирать отдельно. У Вас присоединение этих значений идёт без обоснования. А надо сослаться на интегральный признак сходимости: в знаменателе стоит величина порядка $%n^{3/2}$% с показателем, большим 1. Если этого не сделать, то проверяющий может счесть решение неполным.

ссылка

отвечен 30 Апр '15 0:25

@falcao А не могли бы вы решение написать? Не очень понимаю, как вы решаете...

(4 Май '15 2:55) rozanovam2

@rozanovam2: если что-то непонятно, то надо задать конкретные вопросы. Я использую стандартные понятия и средства. Если выяснится причина непонимания, я смогу, скорее всего, что-то посоветовать или подсказать. Также полезно прочитать о формуле Коши - Адамара для нахождения радиуса сходимости степенных рядов: это стандартный материал учебника.

(4 Май '15 3:10) falcao

@falcao Проверьте, пожалуйста решение таким способом. Можно ли так оформлять? http://cs623617.vk.me/v623617841/314ed/aZJsGizB4ng.jpg

(6 Май '15 21:59) rozanovam2

@rozanovam2: я бы так не оформлял, потому что можно сделать короче. Кроме того, обоснование того, что ряды сходятся при x=2 и x=4, у Вас неправильное. Вы пользуетесь тем, что n-й член ряда стремится к нулю, но ведь это только необходимое условие сходимости, а не достаточное!

(6 Май '15 22:09) falcao

@falcao http://cs629219.vk.me/v629219841/fb0/vIMGyi1ySoc.jpg
Проверьте еще, пожалуйста, это... верно решаю? Получится 1/3, да?

(25 Май '15 20:51) rozanovam2

@rozanovam2: Вы забыли про $%n+1$% в числителе. После упрощений получится не 1/3, а $%n/3$%, что стремится к бесконечности. Если бы было 1/3, то ряд был бы сходящимся.

(25 Май '15 21:04) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×619
×333

задан
28 Апр '15 11:02

показан
790 раз

обновлен
25 Май '15 21:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru