Помогите решить, пожалуйста!
1) $%xdy−ydx=(x^2+y^2)^{\frac 12}dx$%;
2) $%xy′=y−xe^{\frac yx}$%;
3) $%y=x(y′−x \cos x)$%.

$%xy'=y-xe^{\frac yx}$%, $%y'=y/x-e^{\frac yx}$%, $%t=y/x$%, $%t'x+t=t-e^t$%, $%dt/dx\cdot x=-e^t$%, $%-e^{-t}dt=dx/x$%
$%-\int(e^{-t})dt=\int(dx/x)$%, $%e^{-t}=\ln(x)+c$%

$%y=x(y'-x\cos x)$% => $%y'-x\cos x=y/x$% => $%y'-y/x=x\cos x$% $%y=uv$%, тогда $%y'=u'v+uv'$% $%u'v+u(v'-v/x)=xcosx$% $%v'=v/x$% =>$%dv/v=dx/x$% =>$%\ln(v)=\ln(x)$% => $%v=x$% $%u'v=x\cos x$%, $%u'x=x\cos x$%, $%u=\int(\cos x)dx =\sin x+c$%, $%y=uv=(sinx+c)x=x\sin x+cx$%

задан 28 Апр '15 19:41

изменен 29 Апр '15 22:56

falcao's gravatar image


272k83751

@rozanovam2: x2, y2 тоже надо исправить. Если не используете редактор формул, то добавляйте хотя бы "крышечки" у степеней.

Примеры эти, судя по всему, однотипны: везде должна работать замена вида $%z=y/x$%.

(28 Апр '15 20:16) falcao

@rozanovam2: Вы повторили вопрос, вместо того, чтобы воспользоваться рекомендацией. Напоминаю, что нужно сделать: ввести новую переменную $%z=y/x$%. При этом $%y=xz$%, а потому $%y'=(xz)'=x'z+xz'=z+xz'$%. После таких замен в каждом из примеров получается уравнение с участием функции $%z=z(x)$%. Его надо решить и найти $%z$%, после чего $%y$% выразится. Примеры эти стандартные и однотипные. Научиться их решать не так уж и трудно. Если по указанному способу есть конкретные вопросы -- спрашивайте.

(29 Апр '15 16:40) falcao

Вроде бы верно, то есть существенных ошибок я не обнаружил. Но вообще-то я не люблю проверять -- я люблю объяснять, если что-то непонятно.

Там, где получилось $%-e^{-t}=\ln|x|+C$% (минус потерян), надо $%t$% выразить ещё через один логарифм, и домножить на $%x$%. При этом надо добавлять модули.

(29 Апр '15 23:28) falcao

@falcao а разве там нужен минус? - скидываем из степени, когда находим интеграл, получается - на - = +? нет?

(30 Апр '15 0:15) rozanovam2

@rozanovam2: да, я не обратил внимания на то, что после интегрирования минус исчезает. Как видите, Вы себя проверить можете лучше, чем я. Такую скучную работу я вообще не люблю. Поэтому предлагаю заняться обсуждением способов решения, чтобы не переутомляться сильно :)

(30 Апр '15 0:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,158

задан
28 Апр '15 19:41

показан
395 раз

обновлен
30 Апр '15 0:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru