математика - Олимпиадные задачи

1) Один выбирает книги для обмена $%C_7^3$% способами, а другой $%C_9^3$% способами. По правилу произведения, получается $%C_7^3\cdot C_9^3=35\cdot84=2940$% способов.

2) Число 23-разрядных чисел с этим свойством равно количеству решений уравнения $%x_1+\cdots+x_{23}=4$%. Это число сочетаний с повторениями из $%23$% по $%4$%. По известной формуле из комбинаторики, оно равно $%C_{26}^4$%. Из этого количества вычитаем число 23-разрядных чисел с нулём в начале. Оно равно $%C_{25}^4$%. Итого получается $%C_{26}^4-C_{25}^4=2300$%. Можно подсчитать то же самое и другими способами.

3) Выдадим каждому по ореху. Оставшиеся 33 ореха делим без ограничений. Количество способов равно числу решений уравнения $%x+y+z=33$% в целых неотрицательных числах. Это число сочетаний с повторениями из $%3$% по $%33$%, равное $%C_{35}^2=595$%.