математический-анализ - Доказать эквивалентность

Просьба по возможности располагать рисунки в правильной ориентации.

Пункт 2 по критерию Дарбу равносилен тому, что $%I^{\ast}=I_{\ast}$%, где $%I^{\ast}$% -- верхний интеграл Дарбу (точная нижняя грань верхних сумм Дарбу), и $%I_{\ast}$% -- нижний интеграл Дарбу (точная верхняя грань нижних сумм Дарбу). Выведем 2 из 1.

По определению, $%I^{\ast}$% не превосходит любой из верхних сумм Дарбу, а $%I_{\ast}$% не меньше любой из нижних сумм Дарбу. Поэтому $%0\le I^{\ast}-I_{\ast}\le S(\tau(\varepsilon))-s(\tau(\varepsilon)) < \varepsilon$%. Ввиду произвольности $%\varepsilon > 0$%, получается, что $%I^{\ast}-I_{\ast}=0$%.

Обратная импликация доказывается чуть посложнее, но тоже достаточно просто. При желании, это доказательство также можно изложить. Но вообще-то это всё в учебниках должно быть.