В прямоугольном треугольнике даны острый угол $%\alpha$% и расстояние $%a$% от вершины другого острого угла до центра вписанного круга. Площадь этого треугольника равна

задан 29 Апр '15 21:43

изменен 30 Апр '15 7:57

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Соединим вершину другого острого угла с центром вписанного круга. Соединение проходит по биссектрисе. Половина угла равна $%\frac{\pi}4-\frac{\alpha}2$%. Если $%a$% умножить на синус этого угла, то получится радиус вписанного круга: $%r=a\sin(\frac{\pi}4-\frac{\alpha}2)$%.

Катет, противолежащий углу $%\alpha$%, разделён на две части точкой касания вписанной окружности. Одна из частей равна $%r$% (та, которая ближе к прямому углу), а вторая равна $%a\cos(\frac{\pi}4-\frac{\alpha}2)$%. Следовательно, сам катет равен $%a(\cos(\frac{\pi}4-\frac{\alpha}2)+\sin(\frac{\pi}4-\frac{\alpha}2))$%. Это выражение упрощается до $%a\sqrt2\cos\frac{\alpha}2$% при помощи тригонометрических тождеств.

Второй катет получается из первого умножением на котангенс угла $%\alpha$%. Далее перемножаем катеты, и делим произведение пополам. Получится $%S=a^2\cos^2\frac{\alpha}2{\rm ctg\,}\alpha=a^2\frac{(1+\cos\alpha)\cos\alpha}{2\sin\alpha}$%.

Ответ можно записать по-разному ввиду обилия тригонометрических тождеств, но я выбрал такое выражение через косинус и синус угла.

ссылка

отвечен 29 Апр '15 22:08

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пускай $%c$% - длина гипотенузы, тогда $%c\sin\alpha,c\cos\alpha$% - длины катетов, $%\frac{c\sin\alpha+c\cos\alpha-c}2$% - радиус вписанной окружности, $%\frac{c\sin\alpha-c\cos\alpha+c}2$% - длина части катета от точки касания до другой вершины. По теореме Пифагора $$\left(\frac{c\sin\alpha+c\cos\alpha-c}2\right)^2+\left(\frac{c\sin\alpha-c\cos\alpha+c}2\right)^2=a^2,$$ $$c^2=\frac{a^2}{1-\cos\alpha},$$ $$S=\frac12c^2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{a^2\sin2\alpha}{4(1-\cos\alpha)}.$$

ссылка

отвечен 29 Апр '15 22:36

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×390

задан
29 Апр '15 21:43

показан
500 раз

обновлен
29 Апр '15 22:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru