Сколькими способами можно разложить 10 шаров по 5 корзинам так, чтобы ровно 1 корзина была пустая:
a) все шары разные;
b) все шары одинаковые, пустых корзин нет.

задан 29 Апр '15 22:06

изменен 30 Апр '15 8:01

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Для условия $%b$% нашел формулу $%T(n, k) = C(n-1, k-1)$%.

(29 Апр '15 22:10) 587896

@587896: в самом начале сказано, что ровно 1 корзина пустая. Эти слова относятся к обоим пунктам. Но в пункте б) сказано, что пустых корзин нет. Наверное, что-то надо исправить в условии.

(29 Апр '15 22:11) falcao

Ровно 1 пустая корзина относится только к условию a).

(29 Апр '15 22:14) 587896
10|600 символов нужно символов осталось
1

Отредактированная версия условия:

Сколькими способами можно разложить 10 шаров по 5 корзинам, если

a) Все шары разные, ровно 1 корзина пустая;

b) Все шары одинаковые, пустых корзин нет.

Начнём с пункта б), так как он проще. Положим по одному шару в каждую из корзин. Остаётся распределить 5 шаров по 5 корзинам без ограничений. Это число сочетаний с повторениями из 5 по 5. По известной формуле, оно равно $%C_{5+5-1}^5=C_9^4=126$%.

Теперь рассмотрим пункт а). Прежде всего, пятью способами выберем корзину, которая должна быть пустой. Далее возникает задача о числе способов распределить 10 разных шаров по 4 корзинам, среди которых нет пустых. Это число надо будет найти, и в конце умножить его на 5.

Общее число способов распределить шары, если нет ограничений, равно $%4^{10}$% (размещения с повторениями). Из этого количества надо вычесть число способов, для которых имеются пустые корзины. Введём обозначения $%A_i$%, где $%i=1,2,3,4$%, для множества способов распределить шары, где $%i$%-я корзина пуста (а остальные могут быть и пустыми, и непустыми). Вычесть нам будет нужно число $%|A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4|$%, которое подсчитывается по формуле включений и исключений: $%|A_1|+\cdots+|A_4|-|A_1A_2|-|A_1A_3|-\cdots-|A_3A_4|+|A_1A_2A_3|+\cdots+|A_2A_3A_4|$%. Здесь пересечение множеств $%X$% и $%Y$% стандартно обозначается в виде $%XY$%. Пересечения кратности 4 пусты, и их мы не учитываем.

Очевидно, что $%|A_i|=3^{10}$% для любого $%i$% по той же формуле для размещений с повторениями. Также ясно, что $%|A_iA_j|=2^{10}$% при $%i < j$%, а тройные пересечения одноэлементны. Также заметим, что самих множеств 4, пар из них $%C_4^2=6$%, и тройных пересечений снова 4. Отсюда $%|A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4|=4\cdot3^{10}-6\cdot2^{10}+4$%.

Таким образом, ответом будет $%5(4^{10}-4\cdot3^{10}+6\cdot2^{10}-4)=4092600$%.

ссылка

отвечен 29 Апр '15 22:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×954

задан
29 Апр '15 22:06

показан
848 раз

обновлен
29 Апр '15 22:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru