$$ax^2-2y^2+2xy-6x+y- \frac{3}{4}=0$$

$$x^2+y^2\leq 1/2$$

При каких $%a$% система имеет ед. решение?

Решил (с трудом и помощью). Хотелось бы проверить - неуверен в правильности. Будет желание посмотрите, пожалуйста.

задан 30 Апр '15 21:39

изменен 1 Май '15 8:43

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

У меня при "черновом" подсчёте получились значения a=-63/5 и a=-7, но это пока не проверено как следует.

(30 Апр '15 23:31) falcao

@falcao, -63/5, у меня тоже получилось. А минус 7 откуда? Напишите потом решение, хорошо? Я свой вариант тоже потом загружу

(30 Апр '15 23:36) epimkin

При a=-7 происходит касание кривой второго порядка и окружности. Точка касания "хорошая": x=-1/2, y=1/2.

Я, конечно, напишу, если получится "чистовой" вариант.

(30 Апр '15 23:43) falcao

@falcao, при а =-7 не единственное решение, есть еще х=у=-1/2

(1 Май '15 17:21) epimkin

@epimkin: да, верно. Я на самом деле не доказывал, что при этом решение единственно -- было только такое подозрение. Видимо, случай касающихся кривых ведёт к симметричному касанию, то есть замена $%y\mapsto-y$% должна быть как-то алгебраически заметна. Тогда остаётся только одноточечная кривая, а она легко анализируется.

Каков источник этой задачи?

(1 Май '15 17:27) falcao

@falcao, сам не знаю, в двух форумах встретилась, никто не ответил хорошо, так скажем. Так можно как-то доказать отсутствие других а.

(1 Май '15 17:38) epimkin

@epimkin: идея была такая: если кривая не вырождается в точку, то одно решение может быть только при касании кривых. Тогда в точке касания у них пропорциональны градиенты. Получается третье уравнение (второе -- это уравнение окружности: касание происходит именно на ней). Получается 3 уравнения и 3 неизвестных. Всё это довольно громоздкое. Видимо, там надо доказать, что если есть одна точка касания, то есть и другая -- из вида уравнений это должно следовать. Какого-то простого элегантного решения я не знаю.

(1 Май '15 17:50) falcao

@falcao, а если их сложить (исходные), то нельзя ее рассматривать как параболу $%(a+2)x^2+(2y−6)x+y−\frac 54 \le 0$%?

(1 Май '15 18:50) epimkin

Если решать через градиенты, решение выходит на 93 страницы. https://www.dropbox.com/s/ctz444y0pb7c0t7/Solution.pdf

Сделал видео анимацио в Геогебре: https://www.dropbox.com/s/3crxh27tc7di6qw/Solution.mp4

Единственное решение возможно когда эллипс касается круга с внутренней стороны: http://i016.radikal.ru/1505/f9/e4b9b305cf83.png

(2 Май '15 20:14) void_pointer

@falcao -7 дает три решения: $%\left( { - \frac{{41}}{{58}}, - \frac{1}{{58}}} \right),\,\,\,\left( { - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}} \right),\,\,\,\left( { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)$%

При $% - \frac{{63}}{5}$% есть только 4 мнимых решения. То есть данное значение параметра тоже не подходит.

(2 Май '15 20:53) void_pointer
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
0

@void_pointer, мы уже это выяснили.Спасибо за анимацию. Но единственное решение система дает, когда линия из первого уравнения вырождается в точку. Может вы внутренним касанием нашли еще одно решение. Какие там икс и игрек? При а=-63/5 х=-5/22,у=3/22

ссылка

отвечен 2 Май '15 21:00

изменен 2 Май '15 21:04

Между -7.35 и -7.34

(2 Май '15 21:05) void_pointer

Но ведь если первое уравнение превращается в точку и эта точка лежит не на окружности то решений не существует? Почему Вольфрам и другие программы говорят что нет решений при $% - \frac{{63}}{5}$%?

(2 Май '15 21:08) void_pointer

Ну, при этих значениях не выполняется неравенство(которое второе)

(2 Май '15 21:08) epimkin

Эта точка лежит в круге (второе неравенство - это круг же)

(2 Май '15 21:09) epimkin

Получается тогда, что система не имеет решений, а ведь нас просят чтобы она имела решения и только одно. Чет я про точку не понял.

(2 Май '15 21:13) void_pointer

@epimkin, @void_pointer: я исходил из того, что задача имеет "изюминку", и поэтому пытался найти решение для случая касания. Это только необходимое условие, но не достаточное. При a=-7, как я понимаю, кривая имеет касание в какой-то точке, а в других местах она существенно пересекает круг, то есть решений там бесконечно много. При компьютерном подсчёте я также обнаружил ещё одну точку касания, описывающуюся через корни кубического уравнения. Но там, судя по всему, тоже есть другие пересечения.

Анимация весьма полезная, а вот текст из 93 страниц -- это вряд ли для человеческого прочтения :)

(2 Май '15 21:15) falcao

@falcao, я уже бросил ее-одно значит одно. @void_pointer, что про точку непонятно: при а равно -63/5 кривая вырождается в точку, которая лежит внутри круга. Все условия задачи выполнены, все счастливы

(2 Май '15 21:22) epimkin

@epimkin: у меня есть подозрение, что условие несколько "левое", то есть у меня нет ощущения, что там как-то искусно подбирали числа. Вообще, если строго доказывать, что других решений нет, то надо рассмотреть поворот, при котором круг остаётся на месте, а уравнение кривой упрощается: исчезает член с $%xy$%. Тогда, наверное, рассуждение какое-то возможно. Ноя всё равно не вижу здесь "красоты".

(2 Май '15 21:27) falcao

@epimkin, @falcao Может быть автор под "красотой" подразумевал нахождение значения параметра при котором внутренний эллипс касается круга и не пересекает его в других местах? Другое дело если чисто аналитически вычисления получаются сложными то задача теряет интерес...При a = -7 действительно есть одно касание но при этом же значение параметра два пересечения, что в итоге дает 3 решения. http://www.wolframalpha.com/input/?i=-7x%5E2+-+2y%5E2+%2B+2xy+-+6*x+%2B+y+-+3%2F4+%3D+0%2C+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+1%2F2

(2 Май '15 21:38) void_pointer

Давайте дружно бросим ею заниматься

(2 Май '15 21:42) epimkin

@void_pointer: там, как я понимаю, три пересечения с окружностью, но в условии круг, то есть решений бесконечно много.

Если задача составлялась кем-то с определённой идеей (скажем, предлагалась где-то на вступительных), то это одно. Если же сам пример взят был кем-то "с потолка" или условие искажено, то решать такое не особо интересно. Поэтому я поддерживаю предложение @epimkin из комментария выше.

(2 Май '15 23:07) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,611
×281
×234

задан
30 Апр '15 21:39

показан
448 раз

обновлен
2 Май '15 23:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru